2.3_三角形的内切圆

1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？①.圆心与半径2、叙述角平分线的性质与判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、下图中△ABC与圆O的关系？△ABC是圆O的内接三角形；圆O是△ABC的外接圆圆心O点叫△ABC的外心②.不在同一直线上的三点ABCO△ABC的外心是三边中垂线的交点，它到三个顶点的距离相等李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大.下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下.ABCDFEOrCBA1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.OABC思考下列问题：(1)．如图1，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心O在∠ABC的平分线上.如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？圆心O在∠BAC、∠ABC与∠ACB的三个角的角平分线的交点上.OMABCNO图2ABC探究：三角形内切圆的作法图1(2)．如何确定一个与三角形三边都相切的圆的半径的长？(3)．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆么？内切圆圆心能否在三角形外部？作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径.只能作一个，圆心也只能在三角形内部,因为三角形的三条内角平分线在三角形内部,且相交只有一个交点.IFCABEDID作法：ABC1.作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I.2．过点I作ID⊥BC，垂足为D.3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆.MN2.一个三角形的内切圆作法课内练习3：用直尺和圆规作直角三角形的内切圆作业题2：用直尺和圆规作钝角三角形的内切圆（3）内心在三角形内部OABC3、性质:（1）内心到三角形三边的距离相等；（2）内心与顶点连线平分内角.名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部．三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部．OABCOABC4、三角形内切圆和外接圆的比较:1.如图1，△ABC是⊙O的三角形。⊙O是△ABC的圆，点O叫△ABC的，它是三角形的交点。外接内接外心三边中垂线ABCO．图1IDEF．图2外切内切内三个角平分线2.如图2，△DEF是⊙I的三角形，⊙I是△DEF的圆，点I是△DEF的心，它是三角形的交点。填一填1无数内部COBA•BACABCACB5、如上图，四边形DEFG是⊙O的四边形，⊙O是四边形DEFG的圆.3、三角形的内切圆能作____个,圆的外切三角形有_____个,三角形的内心在三角形的_______.4.如图,O是△ABC的内心,则OA平分∠______,OB平分∠______,OC平分∠______,.DEFG.O内切外切填一填CABrOD解：如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.∵圆O是△ABC的内切圆,∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线△ABC是等边三角形,∴∠OAB=∠OBA=30o∴OA=OB∵OD⊥AB，AB=3cm，∴AD=BD=AB=1.5(cm)12∴OD=ADtan30o=(cm)32答:圆柱底面圆的半径为cm.32例1如图，等边三角形ABC的边长为3cm，求三角形ABC的内切圆的半径.例２如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点分别点D、E、F，设△ABC周长为L.求证：AE＋BC=L21OABCFED如图，设△ABC的边BC=a，CA=b，AB=c，L=a+b+c，内切圆I和各边分别相切于D、E、F.21结论：AE=AF=L-aBF=BD=L-bCD=CE=L-cCBAEDFOr2121ABCＩabcDEr如：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm则其内切圆的半径为______。补充：如图，直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为c则其内切圆的半径ｒ为:（以含a、b、c的代数式表示r）2cmr=a+b-c2练习：边长为３，４，５的三角形的内切圆半径是＿＿1直角三角形外接圆、内切圆半径的求法R=—c2r=——a+b-c2Oabcrrr已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为a,b,c,I为内心，内切圆半径为r,求△ABC的面积S(用a,b,c,r表示）ABCI证明：连结AI,BI,CIＳ△ABC＝Ｓ△ABI+Ｓ△BCI+Ｓ△ACI＝a·r2+b·r2+c·r2＝(a+b+c）·r2rLS21=⑵边长为５，５，６的三角形的内切圆半径是＿＿1.5完成课内练习题２：已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。ABCFDExx13-x13-x9-x9-x∴(13-x)+(9-x)=14解：设AF＝x，则BF=13-x因此，AE=AF=x,BD=BF=13-x,DC=EC=9-x,解得x=4答：AF=4，BD=9，CE=5。∴AF=4，BD=9，CE=5练一练又∵BD+CD=14还可用什么方法？圆内接平行四边形是矩形圆外切平行四边形是_______FACBD·O·ABCDO延伸与拓展菱形EGH变式：求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.老师提示：先画草图，由等腰三角形底边上的中垂线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形的内切圆与外接圆是两个同心圆.CABRrODsin∠OBD=sin30°=rR=ODOB=12课本课内练习题1：求边长为6cm的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R.以某三角形的内心为圆心，作一个圆使它与这个三角形的某一条边（或所在的直线）有两个交点，那么这个圆与其他两边（或所在的直线）有怎样的位置关系？仔细观察图形，你还能发现什么规律？再作几个三角形试一试，是否有同样的规律？请说明理由．OABCFＥDGHI(3)正三角形的内切圆半径和高的比为______课内练习1：(1)在△ABC中，点I是内心，∠AIC=120°，求∠B的度数。若∠A=Xº,则∠BIC=______.(2)一个三角形的面积为12cm2，周长为24cm，则三角形的内切圆的半径为______cm。完成作业题3、4、5、6回头一看，我想说…１.定义２.内心的性质４.初步应用３.画三角形的内切圆