高考数学“六招”秒杀选择题

攻略二解题技法招招致胜第1讲“六招”秒杀选择题选择题属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，其基本解答策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．解答选择题的常用方法主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．总的来说，选择题属于小题，尽量避免“小题大做”．在考场上，提高了选择题的解题速度，也是一种得分．技法1：直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．[例1](1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A．－8B．－6C．6D．8(2)(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝()A.2B.3C．2D．3解析：(1)∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，∴a＋b＝(4，m－2)．∵(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，∴12－2(m－2)＝0，解得m＝8.(2)由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×23，解得b＝3或b＝－13(舍去)．答案：(1)D(2)D[规律方法]1.直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案，解题时要多角度思考问题，善于简化计算过程，快速准确得到结果．2．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．[变式训练1](1)(2016·惠州质检)设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则z2z1的虚部为()A.35B．－35C.45D．－45(2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A．34B．55C．78D．89解析：(1)复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1＝1－2i，∴z2＝－1－2i，则z2z1＝－1－2i1－2i＝（－1－2i）（1＋2i）（1－2i）（1＋2i）＝3－4i5，因此z2z1的虚部为－45.(2)第一次循环：z＝2，x＝1，y＝2；第二次循环：z＝3，x＝2，y＝3；第三次循环：z＝5，x＝3，y＝5；第四次循环：z＝8，x＝5，y＝8；第五次循环：z＝13，x＝8，y＝13；第六次循环：z＝21，x＝13，y＝21；第七次循环：z＝34，x＝21，y＝34，z＝55.当z＝55时，退出循环，输出z＝55.答案：(1)D(2)B技法2：特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．[例2](2014·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()(导学号55460074)A.3B.3mC．3D．3m解析：在双曲线C：x2－my2＝3m(m0)，取m＝13，则a＝1，b＝3，c＝2.∴取双曲线的一条渐近线为y＝3x，右焦点F(2，0)．∴点F到渐近线的距离d＝|23－0|3＋1＝3.答案：A[规律方法]1.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含字母或具有一般性结论的选择题．2．特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理．第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．[变式训练2]如图所示，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P、Q满足A1P＝BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为()(导学号55460075)A．3∶1B．2∶1C．4∶1D.3∶1解析：当点P为点A1，点Q为点B时，A1P＝BQ＝0，则有VC-AA1B＝VA1-ABC＝13VABC-A1B1C1，因此过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分体积比为2∶1.答案：B技法3：淘汰(排除)法排除法(淘汰法)是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．[例3](1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()(2)(2015·湖北卷)设x∈R，定义符号函数sgnx＝则()(导学号55460076)A．|x|＝x|sgnx|B．|x|＝xsgn|x|C．|x|＝|x|sgnxD．|x|＝xsgnx解析：(1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除A、B.当x≥0时，f(x)＝2x2－e|x|＝2x2－ex，则f′(x)＝4x－ex，∵f′(0)＝－10，f′(2)＝8－e20.∴f(x)在(0，2)上至少存在一个极值点，排除C，选D.(2)当x0时，|x|＝－x，sgnx＝－1，则x·|sgnx|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgnx＝x.因此，选项A、B、C均不成立．答案：(1)D(2)D[规律方法]1.排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．2．排除法常与特例法，数形结合法联合使用，在高考题求解中更有效发挥功能．[变式训练3](1)函数f(x)＝(1－cosx)sinx在[－π，π]的图象大致为()(2)(2015·浙江卷)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有()(导学号55460077)A．f(sin2x)＝sinxB．f(sin2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝|x＋1|D．f(x2＋2x)＝|x＋1|解析：(1)由函数f(x)为奇函数，排除B；当0≤x≤π时，f(x)≥0，排除A；又f′(x)＝－2cos2x＋cosx＋1，f′(0)＝0，则cosx＝1或cosx＝－12，结合x∈[－π，π]，求得f(x)在(0，π]上的极大值点为2π3，靠近π，排除D.(2)在A中，取x＝0，x＝π2，得f(0)＝0，f(0)＝1，不满足函数定义，排除A.在B中，取x＝0，x＝π2，f(0)＝0，f(0)＝π24＋π2，同理，排除B.在C中，取x＝1，x＝－1，则f(2)＝0，f(2)＝2，同理，排除C.答案：(1)C(2)D技法4：数形结合法有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，综合图象的特征，得出结论．[例4](1)(2016·山东卷)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10D．12(2)(2015·北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1x≤1}D．{x|－1x≤2}解析：(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示区域内点到原点距离的平方，由得A(3，－1)．由图形知，(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.(2)令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1x≤1}．答案：(1)C(2)C[规律方法]1.第(2)题将不等式的求解转化为研究函数图象的位置关系，利用几何直观，再辅以简单的计算，可有效提高解题速度和准确性．2．图解法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择．[变式训练4]已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2，1]D．[－2，0]解析：y＝|f(x)|＝的图象如图所示．设曲线y＝x2－2x在x＝0处的切线为l，y′＝2x－2，y′|x＝0＝－2，则满足|f(x)|≥ax的a的取值范围是[－2，0]．答案：D技法5：估算法选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．[例5]设M为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为()A.34B．1C.74D．2解析：如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S△OAB＝12×2×2＝2小，故选C项．答案：C[规律方法]1.“估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在于所求值应该比△AOB的面积小且大于其面积的一半．2．在选择题中作精确计算不易时，可根据题干提供的信息，估算出结果的大致取值范围，排除错误的选项．对于客观性试题，合理的估算往往比盲目的精确计算和严谨推理更为有效，可谓“一叶知秋”．[变式训练5](1)已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是()A.169πB.83πC．4πD.649π(2)(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥12”的概率，p2为事件“|x－y|≤12”的概率，p3为事件“xy≤12”的概率，则()(导学号55460078)A．p1p2p3B．p2p3p1C．p3p1p2D．p3p2p1解析：(1)球的半径R不小于△ABC的外接圆的半径r，又△ABC是边长为2的等边三角形，∴r＝32×2×23＝233，故S球＝4πR2≥4πr2＝16π35π，只有D满足．(2)满足条件的x，y构成的点(x，y)在正方形OBCA及其边界上．事件“x＋y≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x－y|≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p2p3p1.答案：(1)D(2)B技法6：概念辨析法概念辨析法是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目一般是给出一个创新定义，或涉及一些似是而非、容易混淆的概念或性质，需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时多加小心．[例6]若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ伴随函数”．下列是关于“λ伴随函数”的结论：①f(x)＝0不是常数函数中唯一一个“λ伴随函数”；②f(x)＝x是“λ伴随函数”；③f(x)＝x2是“λ伴随函数”；④“12伴随函数”至少有一个零点．其中正确的结论个数是()A．1B．2C．3D．4解析：由题意得，①正确，如f(x)＝c≠0，取λ＝－1，则f(x－1)－f(x)＝c－c＝0，即f(x)＝c≠0是一个“λ伴随函数”；②不正确，若f(x)＝x是一个“λ伴随函数”，则x＋λ＋λx＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾；③不正确，若f(x)＝x2是一个“λ伴随函数”，则(x＋λ)2＋λx2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾；④正确，若f(x)是“12伴随函数”，则fx＋12＋12f(x)＝0，取x＝0，则f12＋12f(