2017届一轮复习人教A版 平面向量的数量积 理 课件资料

考纲要求1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系考情分析1.本部分是高考中的重点考查内容，涉及数量积的运算，投影，模(长度)与夹角等多方面内容2.命题形式多种多样，以选择题，填空题为主，属中低档题，常与三角，平面几何，解析几何等相结合考查[小题热身]1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，且有正有负。()(2)若a·b＝0，则必有a⊥b。()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量。()(4)若a·b＜0，则向量a，b的夹角为钝角。()√×√×解析：(1)正确。由向量投影的定义可知，当两向量夹角为锐角时结果为正，为钝角时结果为负。(2)错误。当a与b至少有一个为0时得不到a⊥b。(3)正确。由数量积与向量线性运算的意义可知，正确。(4)错误。当a·b＝－|a||b|时，a与b的夹角为π。2．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()A．1B．2C．3D．4解析：依题意得a＋b＝(3，k＋2)．由a＋b与a共线，得1×(k＋2)－3×k＝0，由此解得k＝1，a·b＝2＋2k＝4，选D。答案：D3．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝()A．6B．5C．4D．3解析：由题意可得8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30⇒x＝4。答案：C4．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0。答案：D5．已知向量a、b的夹角为45°，且|a|＝4，12a＋b·(2a－3b)＝12，则|b|＝__________；b在a方向上的投影等于__________。解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|cos45°＝22|b|，又12a＋b·(2a－3b)＝|a|2＋12a·b－3|b|2＝16＋2|b|－3|b|2＝12，解得|b|＝2或|b|＝－232(舍去)。b在a上的投影为|b|cos〈a，b〉＝2cos45°＝1。答案：2，1[知识重温]一、必记4●个知识点1．平面向量的数量积的定义(1)已知两个①__________a、b，过O点作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的②______。很显然，当且仅当两非零向量a、b同方向时，θ＝③______，当且仅当a、b反方向时，θ＝④______，特别地，0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题。(2)如果a，b的夹角为90°，则称a与b垂直，记作⑤__________。非零向量夹角0°180°a⊥b(3)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数|a|·|b|·cosθ叫做a与b的数量积。记作a·b，即a·b＝⑥__________________。规定0·a＝0。当a⊥b时，θ＝90°，这时⑦______＝0。(4)a·b的几何意义a·b等于a的长度与b在a的方向上的⑧______。|a|·|b|·cosθa·b投影的乘积2．向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝⑨______。(2)a⊥b⇒⑩__________且a·b＝0⇒⑪______。(3)a·a＝⑫______，|a|＝⑬______。(4)cos〈a，b〉＝⑭__________。(5)|a·b|⑮______|a||b|。|a|cos〈a，e〉a·b＝0a⊥b|a|2a·aa·b|a|·|b|≤3．数量积的运算律(1)交换律a·b＝⑯__________。(2)分配律(a＋b)·c＝⑰____________。(3)对λ∈R，λ(a·b)＝⑱__________＝⑲__________。4．数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则(1)a·b＝⑳__________。(2)a⊥b⇔○21__________。(3)|a|＝○22__________。(4)cos〈a，b〉＝○23____________。b·aa·c＋b·c(λa)·ba·(λb)a1b1＋a2b2a1b1＋a2b2＝0a21＋a22a1b1＋a2b2a21＋a22b21＋b22二、必明2●个易误点1．若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c，若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量。2．数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)。考点一平面向量的数量积运算【典例1】(1)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝__________。(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则DE→·CB→的值为__________，DE→·DC→的最大值为__________。211解析：(1)由c＝ta＋(1－t)b得，b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝0，整理得t|a||b|cos60°＋(1－t)|b|2＝0，化简得12t＋1－t＝0，所以t＝2。(2)方法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则D(0,1)，B(1,0)，C(1,1)，DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)，所以DE→·CB→＝1。又因为DC→＝(1,0)，所以DE→·DC→＝t≤1。方法二：选取{AB→，AD→}作为基底，设AE→＝tAB→，0≤t≤1，则DE→·CB→＝(tAB→－AD→)·(－AD→)＝－tAB→·AD→＋AD→2＝0＋1＝1。DE→·DC→＝(tAB→－AD→)·AB→＝t≤1。悟·技法向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosθ。(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2。通·一类1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)。若a·b＝1，则x等于()A．－1B．－12C.12D．1解析：由a·b＝1，得1×2－1×x＝1，解得x＝1，故选D项。答案：D2．已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝__________。解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22＝3－2×1×1×cosπ3－8＝－6。答案：－6考点二平面向量的垂直与夹角问题【典例2】(1)若|a|＝2，|b|＝4且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角是()A.2π3B.π3C.4π3D．－2π3(2)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，若a⊥(a－b)，则x＝__________。(3)设两个向量a，b，满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为π3，若向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角，求实数t的范围。A0或2见解析解析：(1)根据题意，由于|a|＝2，|b|＝4且(a＋b)⊥a，则有(a＋b)·a＝0⇔a2＋b·a＝0⇔4＋b·a＝0，所以b·a＝－4，那么可知a与b的夹角的余弦值为b·a|b||a|＝－48＝－12，则a与b的夹角是2π3。(2)由题知a－b＝(x－1＋x－1,1－3)＝(2x－2，－2)，又因为a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，所以(x－1)(2x－2)＋1×(－2)＝0，即x2－2x＝0，所以x＝0或x＝2。(3)由向量2ta＋7b与a＋tb的夹角为钝角，得2ta＋7b·a＋tb|2ta＋7b||a＋tb|＜0，即(2ta＋7b)·(a＋tb)＜0，化简即得2t2＋15t＋7＜0，解得－7＜t＜－12。当夹角为π时，也有(2ta＋7b)·(a＋tb)＜0，但此时夹角不是钝角，设2ta＋7b＝λ(a＋tb)，λ＜0，可求得2t＝λ，7＝λt，λ＜0，所以λ＝－14，t＝－142。所以t≠－142，所以所求实数t的范围是－7，－142∪－142，－12。悟·技法平面向量数量积的两个应用(1)求夹角大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cosθ＝a·b|a||b|(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题。(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角。通·一类3．(2016·株洲模拟)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－π4B.π6C.π4D.3π4解析：因为2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，设2a＋b与a－b的夹角为α，所以cosα＝2a＋b·a－b|2a＋b||a－b|＝932·3＝22。又α∈[0，π]，故α＝π4。答案：C4．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝__________。解析：因为(a＋b)⊥(ka－b)，所以(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋(k－1)a·b－b2＝0。(*)又因为a，b为两个不共线的单位向量，所以(*)式可化为k－1＝(1－k)a·b，若1－k≠0，则a·b＝－1，这与a，b不共线矛盾；若1－k＝0，则k－1＝(1－k)a·b恒成立。综上可知，k＝1时符合题意。答案：1考点三平面向量的模【典例3】(1)已知a，b是单位向量，a·b＝0。若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()A.2－1B.2C.2＋1D.2＋2(2)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R。若e1，e2的夹角为π6，则|x||b|的最大值等于__________。C2解析：(1)方法一：条件|c－a－b|＝1可以理解成如图的情况而|a＋b|＝2，向量c的终点在单位圆上，故|c|的最大值为2＋1。方法二：由题意，得|a|＝|b|＝1，a·b＝0，所以|a＋b|＝2，因为|c－a－b|＝1，所以|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋(a＋b)2＝1。设c与a＋b的夹角为θ，则|c|2－2|c|×2cosθ＋2＝1，即|c|2＋1＝22|c|cosθ≤22|c|，|c|2－22|c|＋1≤0，解得2－1≤|c|≤2＋1。故|c|的最大值为2＋1。(2)|x|2|b|2＝x2xe1＋ye22＝x2x2＋y2＋2xye1·e2＝x2x2＋y2＋2xycosπ6＝x2x2＋y2＋3xy，当x＝0时，|x||b|＝0；当x≠0时，|x|2|b|2＝11＋y2x2＋3yx，令yx＝t，则|x|2|b|2＝1t2＋3t＋1＝1t＋322＋14≤4，所以|x||b|的最大值为2。悟·技法求平面向量的模及最值的方法几何法求最值：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围代数法求最值：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围。通·一类5．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(a－2b)＝0，则|a－b|＝()A．2B．3C．4D．6解析：因为|a|＝2，|b|＝3，所以a·(a－2b)＝a2－2a·b＝4－2a·b＝0，即a·b＝2，所以|a－b|＝a－b2＝a2－2a·b＋b2＝4－4＋9＝3。答案：B6．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.2－1B．1C.2D．2解析：由向量a，b，c都