数系的扩充与复数的概念解读

2创设情境引入课题问题竞答：0112xxx01x042x012x013x033xx022x022x023x032xx012xx032x以上方程在实数集中无解。你能设想一种方法，使这类方程有解吗？思考：34数的发展过程(经历):—————自然数计数的需要(正整数和零)—————————分数表示相反意义的量解方程x+3=1———————负数测量、分配中的等分解方程3x=5(分数集)有理数集循环小数集—————无理数度量解方程x2=2实数集______________________循环小数不循环小数解方程x2=-1——————?NZQR创设情境探究问题5自然数分数有理数无理数实数①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。负数②③整数①分数②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。创设情境探究问题在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使x2+1=0这样的方程有解吗？6我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？引入一个新数：i规定一元二次方程在实数集范围内无解引入新数，完善数系1ii12x类比扩充完善数系思考：7有理数系实数系数系扩充后，在实数系中规定的加法运算、乘法运算，与原来的有理数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致：加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加分满足分配律。扩充实数系复数系扩充数系扩充后，在复数系中规定的加法运算、乘法运算，与原来的实数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致：加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加分满足分配律。类比扩充完善数系8请你试着将下面的数用分别加法运算和乘法运算进行计算，并把可能的结果写出来。类比扩充完善数系尝试探究：-2，i，3通过观察以上三组数，你发现新数系中的数有什么特点？-2+i，3+i，-2i，3i；-4+i，1+i，-2-2i，-2+3i。a+bi（a∈R，b∈R）部分结果：91、复数的定义:形如a+bi（a∈R，b∈R）的数叫复数,其中i叫虚数单位。注意:①复数通常用字母z表示，即复数a+bi（a∈R，b∈R)可记作:z=a+bi（a∈R，b∈R），把这一表示形式叫做复数的代数形式。②复数z=a+bi(a∈R，b∈R)把实数a，b叫做复数的实部和虚部。2、复数集:C={a+bi|a∈R，b∈R}引入概念解析概念103163.0i52i3ii235i+4练习1：请指出下列复数的实部与虚部。0特别的，当a=0且b=0时，z=0当b=0时，z为实数当b≠0时，z为虚数当a=0且b≠0时，z为纯虚数63.0i52对于复数z=a+bi（a∈R，b∈R）非纯虚数的虚数：a≠0,b≠0引入概念解析概念11复数集虚数集实数集纯虚数集CR（1）复数z=a+bi0)00)0)00)babbab实数(纯虚数(，虚数(非纯虚数(，（2）复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系引入概念解析概念2、复数集:C={a+bi|a∈R，b∈R}12•判断下列命题是否正确：•（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数•（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数•（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数辨析概念13例1、当m为何实数时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数复数当实数m=___时,z为纯虚数；当实数m=时,z为零。immmmz)1(1222-21变式练习：典例讲解变式拓展14若两个复数z1=a+bi和z2=c+di相等，应该满足什么条件？尝试探究：15设a,b,c,d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为:a+bi=c+diacbd规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。引入概念解析概念3、复数相等16例2、已知，其中iyyix)3()12(Ryx,复数相等转化求方程组的解的问题一种重要的数学思想：转化思想求x与y的值。典例讲解变式拓展拓展提高：已知实数x与纯虚数y满足2x-1+2i=y,求x,y。17（1）虚数单位i的引入，数系的扩充；（2）复数有关概念：),(RbRabiaz复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等复数的分类dicbiadbca归纳小结通过本节课的学习，你有哪些收获？1.知识2.思想方法3.能力分类讨论等价转化18B1.解方程x2+1=0.2.复数z=i+i2+i3+i4的值是（）A.-1B.0C.1D.i自主学习19作业课本P106A组1、220关于无理数的发现古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.21