第三节 二维连续型随机变量

#§3.3二维连续型随机变量本节要点：二维连续型随机变量的联合分布二维连续型随机变量的边缘分布二维连续型随机变量的独立性条件分布第三章多维随机变量及其分布#对二维随机变量(,)的分布函数(,)，若存在(,)0，使对任意实数,，有(,)(,)，yxFxyfxyxyFxyfuvdudv2.联合概率密度的性质则称(,)为二维连续型随机变量，(,)为(,)的联合概率密度函数，简称联合密度，或二维密度函数。fxy一、二维连续型随机变量的联合分布1.定义：#二维连续型随机变量(,)),(yxf联合密度函数(,)Gfxydxdy4){(,)}PG为一平面区域G1)非负性，(,)0fxy2)(,)1fxydxdy()bafxdx连续型一维随机变量密度函数}{)4baP)(xf1)()2dxxf0)()1xf23)若(,)在(,)处连续，(,)则(,)fxyxyFxyfxyxy)()()()3xfxFxxf则处连续，在若积分值几何意义：体积积分值几何意义:面积几何意义：此积分表示P{(,)G}的值等于以G为底，以曲面z=f(x,y)为顶的柱体体积#与一维连续型随机变量类似的有：二维连续型随机变量(,)的密度函数(,)在平面上任意点(,)的取值(,)不代表{,}。但是，(,)刻画了(,)在点(,)附近取值的概率。ξfabξηabηfxyabfabPξaηb#例1设二维随机变量(,)的密度函数为⑴求常数；c其它，000),()(yxceyxfyx⑵求(,)的联合分布函数；⑶求01,02；P(4)求(,)，其中为由直线0,0,1所围成的三角形区域。PGGxyxy#12解：(1)1(1)(1),当0,0,(2)(,)0,其他(3)(1)(1)2(4)1xyeexyfxyeee#例2(P69)23设二维连续型随机变量(,)的联合概率密度函数为11,,,22(,)0,其他。求：(1)系数；(2)(,)的分布函数；(3){1}.XYAxyxyfxyAXYPXY#一电子仪器由两个部件组成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：小时），已知X和Y的联合分布函数为（1）求常数A，并判断X与Y是否独立？（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率.其它，000),()(5.05.05.0yxeeeAyxFyxyx练习1100e，是#二、二维连续型随机变量的边缘分布(,)的两个分量与各自的分布分别称为(,)关于与的边缘分布。由联合分布可以求出边缘分布。xPxF)(lim(,)(,)yFxyFxyPyF)(lim(,)(,)xFxyFy回忆：#-因此有()(,),fxfxvdv-则有()(,)fyfuydu二维连续型随机变量的边缘分布密度对连续型随机变量(,)，分量(或)的概率密度称为(,)关于(或)的边缘分布密度，简称边缘密度，记为f(x)(或f(y))。xPxF)(),(xFxdudvvuf),(类似地：()FyPy(,)Fy(,)yfuvdvdu(,)yfuvdudv#因此，要求二维连续型随机变量某一个分量的边缘密度，有两种方法：1.用联合密度函数求积分；2.用联合分布函数求边缘分布函数，再求导。#例3设(,)的概率密度是求(1)c的值；(2)两个边缘密度。,0(,)0,其它xycexyfxy222000,,(),.xξexfxx#例42二维随机变量(,)的联合分布函数为1111(1)(1),,,2422(,)0,其他求(,)的两个边缘密度。XYxyxyFxyXY21122102,,(),.ξxxfxx31122102,,(),.ηyyfyy#设D是平面上的有界区域，其面积为.若二维随机变量（,）具有联合概率密度1,(,)(,)0,其它DxyDfxyS则称（,）在区域D上服从二维均匀分布.回忆一维均匀分布：。。。DS三、二维均匀分布#意义:向平面上有界区域D上任投一质点，若质点落在D内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标（,）在D上服从均匀分布.DB2B1#对于任一平面区域，有{(,)}(,)GGPXYGfxydxdy1DGDdxdyS1DGDdxdyS.GDDSS特别地，当时，有{(,)}.GDSGDPXYGS(,)取值于平面上某一区域的概率：ξηG(,)GDfxydxdy#例5(P71)设二维随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布，其中D为由曲线所围的平面区域。xyxy,2求（1）P{XY}；（2）(X,Y)的两个边缘密度.显然，两个边缘分布都不再是均匀分布！#回忆：设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.四、连续型随机变量的独立性若(X,Y)是连续型随机变量，则独立性的定义等价于：(,)()()XYFxyFxFy#成立,则称X和Y相互独立.分别是X和Y的边缘密度.)(),(yfxfYX)()(),(yfxfyxfYX若在联合密度(x,y)的一切连续点(x,y)处,都有#例6设二维随机变量，的密度函数为XY2101，02，30其它xxyxyfxy试判断随机变量与是否相互独立？XY设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？例7(),0,0(,)0,其它xyxexyfxy不独立独立#若(X,Y)的概率密度为2,01(,)0,其它xyfxy问X与Y是否相互独立。解：例812xdy其它0)1(2xdyyxfxf),()(0x10y1ydx02其它0dxyxfyf),()(y2由于在某些区域：)()(),(yfxfyxf故和不独立。#注意：1、由联合分布可以确定边缘分布；反之，当、相互独立时，由两个边缘分布也可以确定（，）联合分布.2、若联合密度f(x,y)可写成f(x)·g(y),且区域是矩形域时，,独立。()(),,,即(,)0,其他fxgyaxbcydfxy#1，()()如(,)0其它axbcydbadcfxy独立其它01)(bxaabxf1()0其它ηcydfydc例9(书P73)某人欲到车站乘车,已知人、车到达车站的时间相互独立，且都服从在8:00到8:30间的均匀分布。又设车到车站停留10分钟后准时离站，求此人乘上车的概率。#1.设X与Y是相互独立的随机变量，它们在(0,2)内服从均匀分布，试求方程t2+Xt+Y=0有实根的概率。练习162.设(,)的联合密度函数为ξη,,01(,)0,其它Ayxxfxy求常数及两个边缘密度，并判断、的独立性。AXY1#五、二维连续型随机变量的条件分布回忆：二维离散型随机变量的条件分布{,}(,1,2,),ijijPXxYypij对于离散型随机变量：设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布为若{}0,则称jjPYyp{,}{|}(,1,2,){}ijijijjjPXxYypPXxYyijPYyp为条件下X的条件概率分布，简称条件分布。jYy#1、二维连续型随机变量的条件分布定义：设(,)为连续型随机变量，为定值，且对于任意给定的0，有{}0。若极限XYyPyYy0lim{|}()PXxyYyxR存在，则称此极限为在条件下的条件分布函数，记作(|).XXYyFxYy#2、二维连续型随机变量的条件密度函数对于二维连续型随机变量(,)，随机变量在条件下的条件分布仍是连续型分布，且(,)其条件密度函数为，记作(|)，即()XYXYXYyfxyfxYyfy(,)(|)。()XYfxyfxYyfy类似地，定义在条件下的条件分布函数(|)，并可得到相应的条件密度函数YXxYFyXx(,)(|).()YXfxyfyXxfx#例10P752设随机变量(,)的联合密度为8,01,(,)0,其他求条件密度(|)与(|)。XYXYxyxyfxyfxYyfyXx2设随机变量的密度函数为,0,()（其中0），而0,0随机变量在(0,)上服从均匀分布，求的密度函数()。xXYXxexfxxYXYfy例11P75#n维连续型随机变量的有关定义与结论定义112121212121212121212设(,,,)是维随机变量(,,,)的联合分布函数，若存在非负函数(,,,)，使得(,,,)(,,,),则称(,,,)为维连续型随机变量，并称(,,,)为(,,,)的联合概率密度函数。nnnnxxxnnnnnnFxxxnXXXfxxxFxxxfuuudududuXXXnfxxxXXX12维连续型随机变量(,,,)的任意个(1)分量所构成的维随机变量仍是连续型随机变量。nnXXXkknk#定义21212称维随机变量(,,,)中的每个分量的分布函数()(1,2,,)为(,,,)关于的边缘分布函数；相应地，边缘分布密度函数记作()(1,2,,)niiiniiinXXXXFxinXXXXfxin121211221212若维随机变量(,,,)的联合分布函数与边缘分布函数满足(,,,)()()()(,,,),则称个随机变量,,,相互独立。nnnnnnnXXXFxxxFxFxFxxxxRnXXX定义3定理121212维随机变量(,,,)中个分量,,,相互独立的充分必要条件是，在任意连续点(,,,)处有nnnnXXXnXXXxxx)()()(),,,(212121nnxfxfxfxxxfn