圆锥曲线的参数方程

——圆、椭圆的参数方程1、圆的参数方程OXYabRθM(x,y)圆心为C(a,b)半径为R的圆的参数方程：cos0,2sinxaRybR参数θ是旋转角。例1、指出下列圆的圆心坐标和半径（其中θ为参数）：sin32cos32)1(yxsin43cos43)2(yx圆心坐标半径圆心坐标半径(2,–2)R=3(3,3)R=4例2、实数x,y满足求2x–y的取值范围。,4222yxyx解：由已知得：52122yx所以，圆的参数方程为：sin52cos51yxsin5cos522yxcos5所以2x–y的取值范围是：[-5，5]变式训练：已知，求y:x的取值范围。1222yxsincos2yxcos2sinxykkk2cossin212sinkk31311122kkkOYX2130°2、椭圆的参数方程YbOXaθ)sin,cos(baM椭圆的参数方程：12222byaxcos0,2sinxayb参数θ是离心角！例3、①把椭圆为参数）化成普通方程；②点P(5cos45°,4sin45°)是否在上述椭圆上？∠POX=45°？(sin4cos5yx1162522yx解：椭圆的普通方程为：点P在椭圆上，∠POX≠45°例3、已知点A是椭圆上任意一点，点B为圆C：192522yx1)4(22yx上任意一点，求|AB|的取值范围。OXYABCPQ解：如图，要使|PQ|最长（短），只须|CP|最长（短）。设，则：)sin3,cos5(P2224sin3cos25CP5043sin162251CP2510AB变式训练：求以椭圆的长轴为底的内接梯形的面积最大值。)0(12222babyaxOXYABCD解：如图，设C(acosθ,bsinθ),则D(-acosθ,bsinθ)，sin)cos22(21baaSABCDsin)cos1(ab显然，0°＜θ＜90°,0cosθ12sin21sinsin)cos1(y令：1coscos22coscos2/y1cos1cos243321cosmaxy时，当abSABCD433)(max随堂训练在椭圆上到直线3x–2y–16=0距离最小的点的坐标是：，最小距离是：17422yx圆锥曲线的参数方程（2）——双曲线、抛物线的参数方程双曲线的参数方程双曲线：)0,(12222babyax12222byax联想1tancoscossincos122222双曲线的参数方程(tancosbyax为参数）OXYabM(x,y)φtanbEAcosaΦ叫离心角。一般地，离心角φ不等于旋转角，即φ≠∠XOM例1、P是双曲线上任意一点，Q是圆C：1222yx1222yx上任意一点，求线段|PQ|的长度的最小值。OXYCPQ解：线段|PQ|的长度的最小值为点P与圆心C的距离的最小值减去圆的半径。又：2222tan2cos1PC5tan8tan525959)54(tan52所以线段|PQ|的长度的最小值为1553抛物线的参数方程除教材给出的抛物线的参数方程外，下面抛物线的另一种常用的参数方程是：普通方程)0(22ppxy参数方程为参数）tptyptx(222OXYM(x,y)pt222pt参数t的几何意义是：抛物线上的点M与原点连线的斜率。212xtptRyt例2、曲线C的方程是为参数）tpptyptx,0(222当-1≤t≤2时，①求曲线C的弧上A、B两端点的直线方程。②设F是曲线的焦点，且△ABF的面积为14，求p的值。解：曲线C化成普通方程得)42(22pyppxyOXYABA(2p,-2p),B(8P,4P),F(p/2,0)所以，①直线AB的方程为：y=x–4p②∵|AB|=p26点F到直线AB的距离是：227pd242227262121pppdABSABF33p的轨迹方程。的交点为直径的两圆异于、求分别以恒过一个定点；求证：直线、任作互相垂直的弦的顶点、过抛物线例MOOBOA②AB①OBOAOppxy)0(232OXYABM,)0)(2,2(),2,2(22OBOAtupupuBptptA①设1,0442222tutuputp))(2(22222:22222utptxptpuptpuptyAB0)(2yutpx整理得：时也满足）（易知当22ut由此，可知直线AB恒过定点N（2p,0)N充分运用向量工具能使问题化简；充分利用几何直观，仔细观察是提高解决问题能力的好方法！的轨迹方程。的交点为直径的两圆异于、求分别以恒过一个定点；求证：直线、任作互相垂直的弦的顶点、过抛物线例MOOBOA②AB①OBOAOppxy)0(232OXYABMN②由题设知道：OM⊥AB，即OM⊥MN0),2(),(,0yxpyxMNOM)0(0222xpxyx为所求的轨迹方程。在形成曲线的几何条件中，若能直接用一个几何量的等式表示，则将此几何量的等式坐标化，化简即得到曲线方程。在坐标化的过程中，充分利用向量工具是提高解题速度和简化解题过程的好方法！2、已知O是坐标原点，A、B是抛物线为参数）tpptyptx,0(222上不同于顶点的两个动点，且OA⊥OB，求AB中点的轨迹方程。)2(2pxpy,)0)(2,2(),2,2(22OBOAtupupuBptptA设1,0442222tutuputp设AB的中点为P(x,y)，则)(22utpyutpx①②③由①②③消去参数t,u得：