圆锥曲线的综合问题简析

圆锥曲线的综合问题简析河南省三门峡市卢氏县第一高级中学山永峰新课标下高考解析几何综合试题常与导数及其应用角逐压轴题。主要考查解决直线与圆锥曲线位置关系、轨迹方程和探索性等问题思想方法。为此，我们应该熟练掌握圆锥曲线的定义、性质，明确解决直线和圆锥曲线位置关系的思想方法，把握曲线轨迹方程的求法，沟通知识间的横纵联系，借助方程理论、不等式性质、向量工具和数形结合、化归转化等思想方法，就能从容应对高考。下面进行简要剖析：ＡＡＡＡＡ必考知识点1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0，消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．２.弦长公式：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.易错点解析：1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[试一试]:1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条2．直线y＝bax＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点个数是()A．1B．2C．1或2D．0（1）．用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤设点设出弦的两端点坐标代入代入圆锥曲线方程作差两式相减，再用平方差公式把上式展开整理转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解（2）．函数与方程思想和数形结合思想在直线与圆锥曲线中的应用直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．[练一练]:1．椭圆x22＋y2＝1的弦被点12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________．2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与曲线y＝2x－1相切，则该双曲线的离心率为________．题型一直线与圆锥曲线的位置关系考点１：直线与圆锥曲线的位置关系1.过点A的直线l与抛物线y2＝2x有且只有一个公共点，这样的l的条数是()A．0或1B．1或2C．0或1或2D．1或2或32．双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是()A．k＞－baB．k＜baC．k＞ba或k＜－baD．－ba＜k＜ba[类题通法]：研究直线与圆锥曲线位置关系的方法研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．考点２：弦长问题[典例]如图，设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，M为直线l：y＝－2p上任意一点，过M引抛物线的两条切线，切点分别为A，B(B点在A点右侧)．设抛物线上一点P到直线l的距离为d，F为焦点，当d－|PF|＝32，M的坐标为(2，－2)时，求抛物线方程和线段AB的长．[类题通法]：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．[针对训练]：设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．考点３：中点弦问题弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点.归纳起来常见的问题有：1求中点弦所在的直线方程；2抛物线中中点弦的应用；3利用中点弦解决对称问题.问题一求中点弦所在的直线方程1．已知(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．问题二抛物线中中点弦问题2．过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是________．问题三利用中点弦解决对称问题3．已知双曲线x2－y23＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．[类题通法]：处理中点弦问题常用的求解方法1．点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，y1－y2x1－x2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．2．根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．题型二最值、范围、证明问题考点１：最值问题圆锥曲线中的最值问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广，归纳起来常见的问题有：1转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值；2利用三角函数有界性求最值；3数形结合利用几何性质求最值。问题一转化为函数求最值1．(2013·浙江高考)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．问题二利用有界性求最值2．(2013·武汉模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是()A．2B.2C．4D．22问题三利用几何性质求最值3．(2013·浙江模拟)已知P为双曲线C：x29－y216＝1上的点，点M满足|OM|＝1，且OM·PM＝0，则当|PM|取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为()A.95B.125C．4D．5[类题通法]：圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．考点２：范围问题[典例](2014·广东名校质检)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上的任意一点到它的两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之和为22，且它的焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2＋y2＝59内，求m的取值范围．[类题通法]：求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．[针对训练]：(2014·东北十校联考)设点A1，A2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点A1、A2的点P，使得PO⊥PA2，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．考点３：证明问题[典例](2013·安徽高考)设椭圆E：x2a2＋y21－a2＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．[类题通法]：圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．[针对训练]：(2013·北京高考)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：x24＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．题型三定点、定值、探索性问题考点１：定点问题[典例](2013·陕西高考)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．[类题通法]：1．求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．2．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．[针对训练]：(2014·荆州模拟)如图，已知抛物线C：y2＝4x，过点A(1,2)作抛物线C的弦AP，AQ.若AP⊥AQ，证明：直线PQ过定点，并求出定点的坐标．考点２：定值问题[典例](2013·江西高考)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝32，a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．[类题通法]：1．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．2．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．３.解析几何中的定值、定点问题的求解或证明常运用函数的思想方法来解决。具体操作程序如下：（１）变量，选择适当的量作为变量；（２）函数，把要求解或证明为定值、定点的量表示成上述变量的函数；（３）定值、定点，把得到的函数解析式化简，消去变量，得到定值、定点。[针对训练]：已知抛物线y2＝4x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A，B两点，且直线l与x轴交于点C.(1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；(2)设MA＝αAC，MB＝βBC，试问α＋β是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．考点３：探究存在性问题[典例](2013·成都模拟)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)以抛物线y2＝8x的焦点为顶点，且离心率为12.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆E相交于A，B两点，与直线x＝－4相交于Q点，P