【三轮冲刺】2013年高中数学复习点睛专题(考向聚焦+解题反思)课件：第20讲 与数列交汇的综合问题

第20讲与数列交汇的综合问题考向一:数列与函数的综合【例1】(2011年福建宁德模拟)已知数列{an}一共有100项,且an=,则此数列中的最大项是()(A)a1(B)a44(C)a45(D)a100由于数列的通项是一类特殊的函数,所以研究数列中的最大项问题可转化为求相应函数的最大值问题,从而可借助单调性进行求解,但同时应注意数列中的自变量只能取正整数这一特点.举一反三11:(2011年湖南长沙模拟)已知数列{an}的通项公式an=(n+4)·()n,则当an取最大值时,n等于.解析:由于an+1-an=(n+5)·()n+1-(n+4)·()n=()n[(n+5)-(n+4)]=()n·(4-n),显然当n4时,an+1an,当n4时,an+1an,当n=4时有a4=a5,所以a1a2a3a4=a5a6a7…,故当n=4或n=5时an取最大值.答案:4或5解析:由于an+1-an=(n+5)·()n+1-(n+4)·()n=()n[(n+5)-(n+4)]=()n·(4-n),显然当n4时,an+1an,当n4时,an+1an,当n=4时有a4=a5,所以a1a2a3a4=a5a6a7…,故当n=4或n=5时an取最大值.答案:4或5考向二:数列与不等式的综合【例2】(2011年江西抚州模拟)已知点列P1(a1,a2),P2(a2,a3),…,Pn(an,an+1),…满足a1=1,点Pn(an,an+1)在直线x-y+2=0上,设数列{an}的前n项和为Sn,试比较与2的大小.解:因为点Pn(an,an+1)在直线x-y+2=0上,所以an-an+1+2=0,即an+1-an=2.因此数列{an}是首项a1=1,公差为2的等差数列,所以an=1+2(n-1),即an=2n-1,对于数列的前n项和,没有直接可套用的公式,但如果涉及大小比较等一些不等关系时,可考虑利用放缩法:转化为数列用裂项相消法求和后即可达到大小比较的目的.举一反三21:(2011年山东烟台模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*.(1)证明:{an-1}是等比数列;(2)求数列{Sn}的通项公式,并求出使得Sn+1Sn成立的最小正整数n.(1)证明:当n=1时,a1=S1=1-5a1-85,解得a1=-14,则a1-1=-15.当n≥2时,Sn-1=(n-1)-5an-1-85,∴an=Sn-Sn-1=1-5an+5an-1,∴6an=5an-1+1,即an-1=(an-1-1),∴{an-1}是首项为-15,公比为的等比数列.考向三:数列与解析几何的综合【例3】(2011年高考陕西卷)如图,从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y=ex于点Q1(0,1),曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1,Q1;P2,Q2;…;Pn,Qn,记Pk点的坐标为(xk,0)(k=1,2,…,n).(1)试求xk与xk-1的关系(2≤k≤n);(2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|.名师导引:(1)①Pk与Pk-1点之间的关系是什么?【过Pk-1点作x轴的垂线与曲线y=ex的交点为Qk-1,过Qk-1点作曲线y=ex的切线,切线与x轴的交点即为Pk】②如何求切线方程?【利用导数的几何意义】(2)①线段PkQk的长度如何求得?【PkQk的长度即点Qk的纵坐标】②{|PnQn|}这一数列是哪种数列?【等比数列】解:(1)由于Pk点坐标为(xk,0),那么Pk-1点的坐标为(xk-1,0),于是Qk-1点的坐标为(xk-1,),又∵y'=ex,所以曲线y=ex在Qk-1点处的切线的斜率k=,于是切线方程为y-=(x-xk-1),令y=0得x=xk-1-1(2≤k≤n),即Pk点的横坐标xk=xk-1-1,故xk与xk-1之间的关系是xk=xk-1-1(2≤k≤n).(2)易知|PkQk|=(k=1,2,…,n).而由(1)知xk-xk-1=-1(2≤k≤n),所以{xk}构成等差数列,且x1=0,公差为-1,∴xk=0-(k-1)=-(k-1),于是|PkQk|=e-(k-1),因此|P1Q1|+|P2Q2|+…+|PnQn|求解点列问题的关键是寻求点的横坐标或纵坐标之间的关系,根据这种关系转化为等差数列或等比数列进行求解,与曲线的切线相关时,注意充分利用导数的几何意义.考向四:数列在实际问题中的应用【例4】(2011年高考湖南卷)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M,M的价值在使用过程中逐年减少.从第2年到第6年,每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始,每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式;(2)设An=,若An大于80万元,则M继续使用,否则需在第n年初对M更新.证明:需在第9年初对M更新.(1)解:当n≤6时,数列{an}是首项为120,公差为-10的等差数列,an=120-10(n-1)=130-10n;当n≥6时,数列{an}是以a6为首项,为公比的等比数列,又a6=70,所以an=70×()n-6.因此,第n年初,M的价值an的表达式为(2)证明:设Sn表示数列{an}的前n项和,由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125-5n;当n≥7时,由于S6=570,求解数列应用题,必须明白属于哪种数列模型,是等差数列还是等比数列;是求通项问题还是求项数问题,或是求和问题等;题目中涉及哪几个量,这几个量之间存在什么关系等等.