【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题六 解析几何 第4讲 圆锥曲线中的综合问题课件 文

第4讲圆锥曲线中的综合问题考向分析核心整合热点精讲考向分析考情纵览年份考点20112012201320142015ⅠⅡⅠⅡⅠⅡ圆与圆锥曲线的综合20定点与定值问题20(2)真题导航1.(2014四川卷,文10)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()(A)2(B)3(C)1728(D)10B解析:设点A的坐标为(a2,a),点B的坐标为(b2,b),设A在x轴上方,直线AB的方程为x=ty+m,与抛物线y2=x联立得y2-ty-m=0,故ab=-m,由OA·OB=2得a2b2+ab=2,故ab=-2或ab=1(舍去),所以m=2,所以△ABO的面积等于12m|a-b|=|a-b|=|a+2a|,△AFO的面积等于12×14|a|=8a,所以△ABO与△AFO的面积之和等于|98a|+|2a|≥2928aa=3,当且仅当a=43时取“=”,故选B.2.(2012新课标全国卷,文20)设抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为42,求p的值及圆F的方程;解:(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=2p,又点A到l的距离d=|FA|=2p而S△ABD=42.所以12|BD|·d=42.即12×2p×2p=42,所以p=-2(舍去)或p=2所以圆F的方程为x2+(y-1)2=8.解:(2)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.又由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为-33或33,当m的斜率为33时,可设n方程为y=33x+b.代入x2=2py得x2-233px-2pb=0,由于n与C只有一个公共点,故Δ=43p2+8pb=0所以b=-6p,又因为m的截距b1=2p,1bb=3,所以坐标原点到m,n的距离的比值为3.当m的斜率为-33时,由图形对称性知,坐标原点到m,n的距离之比仍为3.综上,坐标原点到m,n距离的比值为3.(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.3.(2015新课标全国卷Ⅱ,文20)已知椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)的离心率为22,点(2,2)在C上.(1)求C的方程;(1)解:由222222,2421,,caababc解得a2=8,b2=4,故椭圆C的方程为2284xy=1.(2)证明:由题设直线l:y=kx+m(k≠0,m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),联立22,280,ykxmxy得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,x1+x2=-2412kmk,x1x2=222812mk,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2212mk,得AB的中点M(-2212kmk,212mk),则直线OM与直线l斜率乘积为2212212mkkmk·k=-2mkm·k=-12,即定值.(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.备考指要1.怎么考以直线与圆锥曲线,圆与圆锥曲线为载体,考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的最值与范围、定点与定值、存在性等问题,题型以解答题为主,有时也会在选择题中出现.2.怎么办(1)圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法:几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决;代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值。(2)定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题,处理时可以直接推理求出定值,也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明.对于客观题,通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果.(3)探索性问题主要是存在性问题,求解时一般先假设存在,然后进行合理的推理论证,若得到的结论合乎情理则假设成立.若得到矛盾的结论则假设不成立.核心整合1.定点问题(1)解析几何中直线过定点或曲线过定点是指不论直线或曲线中的参数如何变化,直线或曲线都经过某一个定点.(2)求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(3)对于直线过定点问题,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).2.定值问题(1)解析几何中的定值是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终是一个确定的值.(2)求证某几何量为定值首先要求出这个几何量的代数表达式,然后对表达式进行化简、整理,根据已知条件列出必要的方程(或不等式),消去参数,最后推出定值.(3)求解定值问题时,如果事先定值不知道,可以先对参数取特殊值,通过特殊值求出这个定值,然后再对一般情况进行证明.3.最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.常用的几何方法有:(1)直线外一定点P到直线上各点距离的最小值为该点P到直线的垂线段的长度.(2)圆C外一定点P到圆上各点距离的最大值为|PC|+R,最小值为|PC|-R(R为圆C半径).(3)过圆C内一定点P的圆的最长的弦即为经过P点的直径,最短的弦为过P点且与经过P点直径垂直的弦.(4)圆锥曲线上本身存在最值问题,如①椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长);②双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长);③椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为[a-c,a+c],a-c与a+c分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离;④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近.常用的代数方法有①利用二次函数求最值.②利用基本不等式求最值.③利用导数法求最值.④利用函数单调性求最值.归纳拓展一条规律:“联立方程求交点,根与系数的关系求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”.热点精讲热点一圆与圆锥曲线的综合【例1】如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;解:(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.由点C的纵坐标为2,点C在抛物线E上,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又|CN|=|CO|=5,所以|MN|=222CNd=254=2.解：(2)设C(204y,y0),则圆C的方程为(x-204y)2+(y-y0)2=4016y+20y,即x2-202yx+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+202y=0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则222000201244(1)240,21.2yyyyyy由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,所以202y+1=4,解得y0=±6,此时Δ0.所以圆心C的坐标为(32,6)或(32,-6),从而|CO|2=334,|CO|=332,即圆C的半径为332.(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圆C的半径.方法技巧求解直线、圆、圆锥曲线的综合问题,一要看特殊点的位置关系,二要看特殊线段的位置关系,如圆的直径与椭圆长轴(短轴),圆的直径与双曲线的实轴(虚轴)、圆的直径与弦等的位置关系.三要看圆与特殊线,如过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线等位置关系.由几何图形的位置关系找到、找准曲线方程中参数的数量关系,从而为解决问题打开突破口.举一反三11:已知圆O:x2+y2=3的半径等于椭圆E:22xa+22yb=1(ab0)的短半轴长,椭圆E的右焦点F在圆O内,且到直线l:y=x-6的距离为3-22,点M是直线l与圆O的公共点,设直线l交椭圆E于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求椭圆E的方程;(1)解:设点F(c,0)(c0),则F到直线l的距离为62c=3-22,即|c-6|=6-1,因为F在圆O内,所以c3,故c=1.因为圆O的半径等于椭圆E的短半轴长,所以b2=3,椭圆E的方程为24x+23y=1.(2)证明:因为圆心O到直线l的距离为62=3,所以直线l与圆O相切,M是切点,故△AOM为直角三角形,所以|AM|=22OAOM=22113xy,214x+213y=1,可得|AM|=12x1,|AF|=2211(1)xy,又214x+213y=1,可得|AF|=2-12x1,所以|AF|+|AM|=2,同理可得|BF|+|BM|=2,所以|AF|+|AM|=|BF|+|BM|,即|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.(2)求证:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.热点二定点与定值问题【例2】(2015甘肃二诊)椭圆C:22xa+22yb=1(ab0)的离心率e=12,过椭圆右焦点F且斜率为1的直线l截椭圆所得弦长为247.(1)求椭圆C的方程;(1)解:依题意设l:y=x-c,①又e=12,所以C:224xc+223yc=1②联立①、②得7x2-8cx-8c2=0,所以247=22288()4()77cc,解得c=1,所以a=2,b=3,于是椭圆C的方程为24x+23y=1.(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),且割线PQ的方程为y=kx+m(k≠0),由221,43,xyykxm得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,所以x1+x2=-2834kmk,x1x2=2241234mk,(*)由∠AFP=∠BFQ,得kPF=-kQF111yx+221yx=0y1(x2-1)+y2(x1-1)=0,即2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0,将(*)式代入上式得2k·2241234mk+(m-k)(-2834kmk)-2m=0,化简得m=-4k,所以割线PQ的方程为y=k(x-4),所以割线PQ恒经过一定点(4,0).(2)已知A,B为椭圆长轴的两个端点,作不平行于坐标轴且不经过右焦点F的割线PQ,若满足∠AFP=∠BFQ,求证:割线PQ恒经过一定点.方法技巧(1)由直线方程确定定点,若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).(2)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题,基本思想是使用参数表示要解决的问题,证明要解决的问题与参数无关.在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.举一反三2-1:如图,已知抛物线C:y2=2px(p0),焦点为F,过点G(p,0)作直线l交抛物线C于A,M两点,设A(x1,y1),M(x2,y2).(1)若y1y2=-8,求抛物线C的方程;(1)解:设直线AM的方程为x=my+p,代入y2=2px得y2-2mpy-2p2=0,则y1y2=-2p2=-8,得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明:设B(x3,y3),N(x4,y4).易得y3y4=-2p2,y1y3=-p2.直线AB的斜率kAB=313