3.1.3 空间向量的数量积运算

第三章空间向量与立体几何3．1.3空间向量的数量积运算第三章空间向量与立体几何学习导航学习目标1.了解空间向量夹角的概念及表示方法．2．掌握空间向量数量积的计算方法及应用．(重点)3．能将立体几何问题转化为向量运算问题．(难点)学法指导数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向量的模、两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积，学习空间两向量的数量积，通过向量积的运用，培养数学应用意识.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何定义已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法____________范围________，当〈a，b〉＝π2时，__________1．空间向量的夹角〈a，b〉a⊥b[0，π]栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何2.空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a，b〉叫做a,b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝_____________交换律a·b＝_____________分配律a·(b＋c)＝____________λ(a·b)b·aa·b＋a·c栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何(3)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|(3)数量积的性质两个向量数量积的性质(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.(2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a(4)|a·b|≤|a|·|b|.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量．()(2)零向量与任意向量的数量积等于零．()(3)若a·b＝a·c，则b＝c.()√√×2．在空间中，若|a|＝1，b＝－5a，则a·b等于()A．5B.15C．－5D．－15C栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何3.在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是()A.AB→与A′C′→B.AB→与C′A′→C.AB→与A′D′→D.AB→与B′A′→A4．已知向量a，b满足|a|＝1，且a·b＝2，a与b的夹角为π3，则|b|＝________.4栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何空间向量数量积的运算已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积．(1)BC→·ED1→；(2)BF→·AB1→.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何[解]如图所示，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)BC→·ED1→＝BC→·(EA1→＋A1D1→)＝b·12c－a＋b＝|b|2＝42＝16.(2)BF→·AB1→＝(BA1→＋A1F→)·(AB→＋AA1→)＝c－a＋12b·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何方法归纳应用数量积公式求空间向量数量积的关键点栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何1.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)EF→·BA→；(2)EF→·BD→；(3)EF→·DC→.解：(1)EF→·BA→＝12BD→·BA→＝12|BD→||BA→|cos〈BD→，BA→〉＝12×1×1×cos60°＝14，所以EF→·BA→＝14.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何(2)EF→·BD→＝12BD→·BD→＝12|BD→||BD→|cos〈BD→，BD→〉＝12×1×1×cos0°＝12，所以EF→·BD→＝12.(3)EF→·DC→＝12BD→·DC→＝12|BD→||DC→|cos〈BD→，DC→〉＝12×1×1×cos120°＝－14，所以EF→·DC→＝－14.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何利用数量积证明垂直证明：(三垂线定理)在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．已知：如图，PO，PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l⊂α，且l⊥OA，求证：l⊥PA.(链接教材P91例2)栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何[证明]如图，取直线l的方向向量a，同时取向量PO→，OA→.因为l⊥OA，所以a·OA→＝0.因为PO⊥α，且l⊂α，所以l⊥PO，因此a·PO→＝0.又因为a·PA→＝a·(PO→＋OA→)＝a·PO→＋a·OA→＝0，所以l⊥PA.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何方法归纳当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零．利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何证明：MN→·AB→＝(MB→＋BC→＋CN→)·AB→＝(MB→＋BC→＋12CD→)·AB→＝(MB→＋BC→＋12AD→－12AC→)·AB→＝12a2＋a2cos120°＋12a2cos60°－12a2cos60°＝0，所以MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.2.如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何利用数量积求两点间的距离如图所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何[解]EF→＝EA→＋AF→＝12OA→＋12(AB→＋AC→)＝12OA→＋12[(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)]＝－12OA→＋12OB→＋12OC→，EF→2＝14OA→2＋14OB→2＋14OC→2＋2×(－12)×12×OA→·OB→＋2×(－12)×12×OA→·OC→＋2×12×12×OB→·OC→＝14×4＋14×4＋14×4－12×2×2·cos60°－12×2×2·cos60°＋12×2×2·cos60°＝2.∴|EF→|＝2，∴E，F间的距离为2.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何方法归纳求两点间的距离或线段的长度的方法：(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|＝a2，通过计算出|a|，即得所求距离．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何3.如图所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．解：∵PC→＝PA→＋AD→＋DC→，∴|PC→|2＝(PA→＋AD→＋DC→)2＝|PA→|2＋|AD→|2＋|DC→|2＋2PA→·AD→＋2AD→·DC→＋2DC→·PA→＝62＋42＋32＋2|AD→||DC→|cos120°＝61－12＝49.∴|PC→|＝7，即PC＝7.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何典例衍变探究求空间向量夹角已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量OE→与向量BF→所成角的余弦值．[解]设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝π3，则a·b＝b·c＝c·a＝12.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何因为OE→＝12(OA→＋OB→)＝12(a＋b)，BF→＝OF→－OB→＝12OC→－OB→＝12c－b，|OE→|＝|BF→|＝32，所以OE→·BF→＝12(a＋b)·12c－b＝14a·c＋14b·c－12a·b－12b2＝－12，设OE→与BF→所成的角为θ，cosθ＝OE→·BF→|OE→||BF→|＝－1232×32＝－23.所以向量OE→与向量BF→所成角的余弦值是－23.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何[拓展探究](1)根据空间两个向量数量积的定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，得空间两个向量a，b的夹角的余弦值cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，这个公式可求出两向量的夹角．(2)利用向量的夹角可转化为求两条异面直线夹角，求角时，应注意两者角度的不同，两异面直线所成角的范围为(0，π2]，两个向量的夹角范围为[0，π]．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何1．若把本题中的结论“求向量OE→与向量BF→所成角的余弦值”改为“求异面直线OE与BF所成角的余弦值”，结果如何？解：如本题中，设OE→与BF→所成的角为θ，cosθ＝OE→·BF→|OE→||BF→|＝－1232×32＝－23.又因异面直线所成角为锐角或直角，所以OE与BF所成角的余弦值为23.栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何解：∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，∴△OAC≌△OAB，∴∠AOC＝∠AOB.∵OA→·BC→＝OA→·(OC→－OB→)＝OA→·OC→－OA→·OB→＝|OA→||OC→|cos∠AOC－|OA→||OB→|cos∠AOB＝0，∴OA→⊥BC→，∴直线OA和BC所成的角为90°.2.若本例中空间四边形OABC变为：OB＝OC，AB＝AC.求直线OA和BC所成的角．栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何栏目导引新知初探思维启动教材盘点合作学习教材拓展整合提高课时作业第三章空间向量与立体几何本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放