弧度制及弧度制与角度制的换算

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？周角的为1度的角。1360这种用1º角作单位来度量角的制度叫做角度制，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。1.圆心角、弧长和半径之间的关系：角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，但都对应同一个圆心角。ABABrr=定值，设α=nº，弧长为l，半径OA为r，则，可以看出，等式右端不含半径，表示弧长与半径的比值跟半径无关，只与α的大小有关。AB22,360360rllnnr结论：可以用圆的半径作单位去度量角。2.定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。3.弧度制与角度制相比：(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心角的大小；1360（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。4.公式：，表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角是αrad。lr5.弧度制与角度制的换算①用角度制和弧度制度量角，零角既是0º角，又是0rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.②平角、周角的弧度数：平角=rad、周角=2rad.③正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.④角的弧度数的绝对值:（l为弧长，r为半径）rl⑤∵360=2rad，∴180=rad∴1=rad0.01745rad18018057.305718'1rad6.用弧度制表示弧长及扇形面积公式：弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.①弧长公式：rl由公式：rlrl比公式简单.180rnl②扇形面积公式lRS21其中l是扇形弧长，R是圆的半径。证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则2213602nSRR又αR=l，所以lRS21证明2：因为圆心角为1rad的扇形面积是22122RR而弧长为l的扇形的圆心角的大小是rad.lR所以它的面积是lRS21例1.（1)把112º30′化成弧度(精确到0.001)；（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。解：（1）112º30′=112.5º，10.0175180所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.(2)112º30′=112.5×=.18058例2.把化成度。85858180()5288解：1rad=180()例3.填写下表：角度0°30°45°60°90°120°弧度角度135°150°180°210°225°240°弧度角度270°300°315°330°360°弧度0π2π643223345632例4.扇形AOB中，所对的圆心角是60º，半径是50米，求的长l（精确到0.1米）。ABAB解：因为60º=,所以3l=α·r=×50≈52.5.3答：的长约为52.5米.AB例5.在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为，面积为2R2的扇形的中心角等于弧度。解：（1）240º=，根据l=αR，得4343lR（2）根据S=lR=αR2，且S=2R2.2121所以α=4.例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。解：－1825º=－5×360º－25º，所以与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角是－25º.合536例7.已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.所以扇形的中心角是2(π－1)rad.合()º360(1)扇形面积是2(1)R