4.1 不定积分的性质

第四章微分法:dxxdF)?()(积分法:)()?(xf互逆运算不定积分indefiniteintegral已知某曲线的切线斜率为2x,1.求此曲线的方程.2第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分公式不定积分的性质小结indefiniteintegral第四章不定积分3一、原函数与不定积分的概念几何问题解例设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点处横坐标的两倍,求曲线的方程.设曲线方程为),(xfy,2xy满足此条件的函数有无穷多个,如,2xy,12xy,12xy等都是.一般,所求曲线方程为,2CxyC为任意常数.不定积分的概念与性质xyOC4定义1例)(sinx1.原函数)()(xfxF,d)()(dxxfxF如果在区间I上,则称上的在为IxfxF)()(或原函数.xcos一个或由xsindxxdcos知xxFsin)(是xxfcos)(上的一个在),(原函数.CxF)(也是xxfcos)(的原函数,其中C为任意常数.CCCxsin不定积分的概念与性质Problem1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?Problem2.若原函数存在,它如何表示?5定理1.存在原函数.初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数)()(xfxF是如果)(xf则在区间I上的任一原函数都CxF)(其中C为某一常数.定理2.定理表明:CxF)(的一整族函数形如是f(x)的全部原函数.原函数,结论的形式,可表为6故0)()(CxGxF)()(xFxG0)()(CxFxG),()(xfxG)()(xfxf证1))()(xfxG为设的任一原函数,则),()(xfxF又)(xG只要找到f(x)的一个原函数,就知道它的全部原函数.0)(xF不定积分的概念与性质导数恒为零的函数必为常数某个常数2)7积分变量积分常数被积函数定义2被积表达式2.不定积分不定积分.(1)定义)(xF设CxF)(的则)(xf全部原函数的一般表达式,)(的任一原函数是xf称为函数f(x)的xxfd)(记为不定积分的概念与性质积分号CxFxxf)(d)(8例1求.d5xx解xxd5解例2.d112xx求)(xFCx66211xxxd112xarctanCxarctan5x66x)(xF不定积分的概念与性质9解例3求.1dxx,0时当x,1)(lnxx;ln1Cxdxx,0时当x,1)1(1])[ln(xxx;)ln(1Cxdxx.||ln1Cxdxx即不定积分的概念与性质EX：.dsec2xx10(2)不定积分的几何意义不定积分的概念与性质的原函数的图形称为xxfd)(的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的一条积分曲线.yxO0x11不定积分的概念与性质解2x故所求曲线方程为22xy(3)积分常数的确定求通过点且其切线斜率为2x曲线.),6,2(例在求原函数的实际问题中,有时要从全部原函数中确定出所需要的具有某特性的一个原函数,这时应根据这个特性确定常数C的值,从而找出需要的原函数.xxyd2xy2的曲线族为有C2262C62C2xy22xyxyO12由不定积分的定义xxxfd)(结论微分运算与求不定积分的运算是如221dgt(1)xxfd)(或或互逆的.xsind)(xfxxfd)(][dCxF)(CxF)()(xFxdd)(xF,sinCxCgt221二、不定积分的性质不定积分的概念与性质13xxgxfd)]()([xxgxxfd)(d)(证xxgxxfd)(d)(xxgxxfd)(d)()()(xgxf等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）(2)xxkfd)(xxfkd)(（k是常数，)0k(2)，(3)称为线性性质.(3)不定积分的概念与性质14实例xCx11启示能否根据求导公式得出积分公式结论)1(要判断一个不定积分公式是否正确,只要将右端的函数求导,看是否等于被积函数.xxd求导公式11x积分公式.三、基本积分公式不定积分的概念与性质积分运算和微分运算是互逆的，15基本积分公式Ckxxkd)1((k是常数))1(1d)2(1CxxxCxxx||lnd)3(不定积分的概念与性质Cxarctanxxd11)5(2Cxarcsinxxdcos)6(Cxsinxxdsin)7(Cxcosxxd11)4(2熟记16xx2cosd)8(xxdsec2Cxtanxx2sind)9(xxdcsc2Cxcot不定积分的概念与性质xxxdtansec)10(Cxsecxxxdcotcsc)11(Cxcscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln熟记17pg189例6求积分.d2xxx解xxxd2xxd25Cx1251252772xCxxx1d1由公式C不定积分的概念与性质.3xdx求解dxxxdx33Cx1313Cx221pg189例518pg190例9求积分解xdxx32(1)xxxdxx322331原式xdxdxdxdxxx2313xxxx2113ln||32C不定积分的概念与性质出一些简单函数的不定积分,称为利用不定积分的性质和基本积分公式,可求直接积分法.19pg191例10求解.)cos3(dxxexdxxex)cos3(dxxdxexcos3xexsin3Cpg191例11求解.2dxexxxxxee)2(2dxexx2dxex)2(Ceex)2ln()2(Cexx2ln1220补充例1求积分解.d)1(122xxxxxxxxxxd)1(122xxxxxd)1()1(22xxxd1112xxd112xarctanxxd1xln||C不定积分的概念与性质补充例2求解:原式=xxdsin21Cxcos21称为分项积分法.利用线性性质计算积分,方法：将被积函数作恒等变形,21补充例4.求积分.d)1(21222xxxx不定积分的概念与性质补充例3.求.d214xxxpg191例12.求Pg1932(20).求积分解.d2cos11xxxxd2cos11xd11xxdcos1212Cxtan211cos22x22熟记基本积分公式不定积分的性质原函数的概念)()(xfxF不定积分的概念CxFxxf)(d)(求微分与求积分的互逆关系四、小结不定积分的概念与性质不定积分的几何意义24习题4-1xxdxdxxx232)2(;)1(:1求下列不定积分dxxxdxxx)1)(1()2(;)23()1(:232求下列不定积分dxdxxxxxxx32532)2(;1133)1(:3224求下列不定积分[解答][解答][解答]25dxxxxdxxxx22sincos2cos)2(;)tan(secsec)1(:4求下列不定积分斜率等且在任一点处的切线的一曲线通过点),3,(52e.,求该曲线的方程于该点横坐标的倒数[解答][解答]26习题解答解dxx37)1(式Cx1371371Cx310103dxx25)2(式Cx1251251Cx2332xxdxdxxx232)2(;)1(:1求下列不定积分[返回习题]27解dxxdxdxx23)1(2式Cxxx2233123dxxxx)1()2(21232式dxdxxdxxdxx21232Cxxxx23253325231习题解答dxxxdxxx)1)(1()2(;)23()1(:232求下列不定积分[返回习题]28解dxxxx11)1(3)1(222式dxxdxx22113Cxxarctan3dxx])32(52[)2(式dxdxx)32(52Cxx)32(32ln52习题解答dxdxxxxxxx32532)2(;1133)1(:3224求下列不定积分[返回习题]29解dxxxx)tansec(sec)1(2式xdxxdxxtansecsec2Cxxsectandxxxxx2222sincossincos)2(式dxxx)sec(csc22Cxxtancot习题解答dxxxxdxxxx22sincos2cos)2(;)tan(secsec)1(:4求下列不定积分[返回习题]30解),(xfy设曲线方程为由题设有,1xyxdxdy1即dxxy1所以Cx||ln,)3,(2在该曲线上又点eCe2ln3所以1C解得1||lnxy故所求曲线的方程为习题解答斜率且在任一点处的切线的一曲线通过点),3,(52e.,求该曲线的方程等于该点横坐标的导数[返回习题]