《大高考》2016届高考复习数学理(全国通用)：第八章 立体几何初步 第五节

考纲考向分析核心要点突破第五节空间垂直的判定与性质考纲考向分析核心要点突破考点梳理考纲速览命题解密热点预测1.空间中垂直的判定.2.空间中垂直的性质.1.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理.2.掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与应用，考查空间想象能力及逻辑思维能力.线线垂直的判定、线面垂直的判定与性质是高考热点.备考时应掌握线面、面面垂直的判定与性质定理.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化思想，逐步学会综合运用数学知识分析解决问题的能力.考纲考向分析核心要点突破知识点一直线与平面垂直1.直线与平面垂直的定义条件：直线l与平面α内的任一条直线都垂直.结论：直线l与平面α垂直.考纲考向分析核心要点突破2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条_____直线都垂直，则该直线与此平面垂直∵l⊥a，l⊥b，a∩b＝O，a⊂α，b⊂α，∴l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行∵a⊥α，b⊥α∴a∥b相交考纲考向分析核心要点突破知识点二平面与平面垂直1.定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直.2.平面与平面垂直的判定定理直二面角文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的________，则这两个平面互相垂直lll一条垂线考纲考向分析核心要点突破3.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们_____的直线垂直于另一个平面alll交线考纲考向分析核心要点突破【名师助学】1.本部分知识可以归纳为：(1)一个关系：转化思想：垂直关系的转化考纲考向分析核心要点突破(2)五种方法：证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；②判定定理1：；③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.,,mnmnllmln、考纲考向分析核心要点突破2.在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.3.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.考纲考向分析核心要点突破方法1直线与平面垂直的判定与性质1.证明直线与平面垂直的具体步骤(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直；(2)证：证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直；(3)用：利用线面垂直的判定定理，得出结论.2.判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理.(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”.(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”.(4)利用面面垂直的性质定理.考纲考向分析核心要点突破【例1】(2012·山东)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值.[解题指导](1)已知：①AB∥CD，∠DAB＝60°；②FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(2)分析：①由已知可得BD⊥AE，分析已知条件可得须证BD⊥AD，从而得BD⊥平面AED；②通过建系利用向量求二面角的余弦值.考纲考向分析核心要点突破(1)证明因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°，又因为BC＝CD，所以∠BDC＝∠CBD＝30°，因为AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD＝30°，在△ABD中∠BDA＝180°－∠ABD－∠DAB＝180°－30°－60°＝90°，所以BD⊥AD，又因为BD⊥AE，AD∩AE＝A，所以BD⊥平面AED.考纲考向分析核心要点突破(2)解连接AC，由(1)可知AC⊥CB，设CB＝1，则CA＝BD＝3，建立如图所示的空间直角坐标系，F(0，0，1)，B(0，1，0)，D32，－12，0，向量n＝(0，0，1)为平面BDC的一个法向量，设向量m＝(x，y，z)为平面BDF的一个法向量，则·0,·0,mBDmFB即330,220.xyyz取y＝1，则x＝3，z＝1，考纲考向分析核心要点突破则m＝(3，1，1)为平面BDF的一个法向量.cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝15＝55，而二面角F­BD­C的平面角为锐角，则二面角F­BD­C的余弦值为55.考纲考向分析核心要点突破[点评]无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“降维”垂直的思想方法，在解题时非常重要.在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.考纲考向分析核心要点突破方法2面面垂直的判定与性质面面垂直的证明方法(1)利用面面垂直的定义.(2)利用面面垂直的判定定理.一般方法是：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线应有理论根据并有利于证明，不能随意添加.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现.考纲考向分析核心要点突破【例2】如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°.(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；(2)设AB＝AP.①若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；②在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由.考纲考向分析核心要点突破[解题指导]分析：①在(1)问中，证明两个面垂直，只需证明一个面内的一条直线垂直于另一个面即可，观察图形，分析已知条件，可证平面PAB中的直线AB⊥面PAD，从而可推得面PAB⊥面PAD.②解决(2)中的问题，可以以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz，写出相关点的坐标，然后用空间向量法进行求解探究.(1)证明因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.考纲考向分析核心要点突破(2)解以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz(如图).在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.在Rt△CDE中，DE＝CD·cos45°＝1.设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，P(0，0，t).由AB＋AD＝4得AD＝4－t，所以E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0)则PB→＝(t，0，－t)，CD→＝(－1，1，0)，PD→＝(0，4－t，－t).考纲考向分析核心要点突破①设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，由n⊥CD→，n⊥PD→，得0(4)0,xytytz，取x＝t，得平面PCD的一个法向量n＝(t，t，4－t).cos60°＝|n·PB→||n||PB→|，即|2t2－4t|t2＋t2＋（4－t）2·2t2＝12，解得t＝45或t＝4(舍去，因为AD＝4－t0)，所以AB＝45.考纲考向分析核心要点突破②假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等，设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则GC→＝(1，3－t－m，0)，GD→＝(0，4－t－m，0)，GP→＝(0，－m，t)，由|GC→|＝|GD→|得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m.①由|GD→|＝|GP→|得(4－m－t)2＝m2＋t2.②由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等.考纲考向分析核心要点突破[点评]解(1)的关键是利用线面垂直的判定定理再结合线在面PAB内证明.解(2)的关键是建立空间直角坐标系求出点的坐标利用法向量求解线段长度.考纲考向分析核心要点突破方法3求解立体几何中的折叠问题在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误.考纲考向分析核心要点突破【例3】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由.考纲考向分析核心要点突破[解题指导]突破1：弄清翻折前后的线面关系和几何量的度量值.翻折前：DE∥BC，DE⊥AC⇒翻折后：DE∥BC，DE⊥A1D，DE⊥CD.突破2：要证A1F⊥BE，转化为证A1F⊥平面BCDE.突破3：由A1D＝CD，可想到取A1C的中点P，则DP⊥A1C，进而可得A1B的中点Q为所求点.(1)证明因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.考纲考向分析核心要点突破(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，又A1D∩DE＝D，所以DE⊥平面A1DC，而A1F⊂A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.考纲考向分析核心要点突破(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.考纲考向分析核心要点突破[点评](1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在.