11.平面向量数量积的习题课

2．4.1平面向量数量积的习题课复习回顾：1.平面向量数量积的定义2.平面向量数量积的几何意义3.平面向量数量积的重要性质返回向量的数量积的性质设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．(1)a⊥b⇔．(2)当a与b同向时，a·b＝，当a与b反向时，a·b＝．(3)a·a＝或|a|＝a·a＝a2.(4)cosθ＝．(5)|a·b||a||b|.a·b＝0|a||b|－|a||b|a·b|a||b|≤|a|24.平面向量数量积的运算律返回(1)a·b＝(交换律)．(2)(λa)·b＝＝(结合律)．(3)(a＋b)·c＝(分配律)．b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c平面向量的数量积的运算律：()()abcabc注意：【变式2】设正三角形ABC的边长为2，AB→＝c，BC→＝a，CA→＝b，求a·b＋b·c＋c·a.解a·b＋b·c＋c·a＝2·2cos120°＋2·2cos120°＋2·2cos120°＝－3.例1：向量数量积的计算4．若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|a＋b|等于()A．3B．22C．10D.10例2：答案：D向量模长问题：5．已知|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|.解：∵|a|＝|b|＝1，∴|3a－2b|2＝9|a|2＋4|b|2－12a·b＝9，∴a·b＝13，∴|3a＋b|2＝9a2＋6a·b＋b2＝9＋6×13＋1＝12，即|3a＋b|＝23.练习.题型四向量垂直与夹角问题【例4】已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？审题指导利用垂直的充要条件→ka－b·a＋2b＝0→用数量积的运算性质展开→求解k例3：[规范解答]要想(ka－b)⊥(a＋2b)，(2分)则需(ka－b)·(a＋2b)＝0，(4分)即k|a|2＋(2k－1)a·b－2|b|2＝0，(8分)∴52k＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，(10分)解得k＝1415，即当k＝1415时，向量ka－b与a＋2b垂直．(12分)【题后反思】解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．【变式4】设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．解∵|n|＝|m|＝1，且m与n夹角是60°，∴m·n＝|m||n|cos60°＝1×1×12＝12.|a|＝|2m＋n|＝2m＋n2＝4×1＋1＋4m·n＝4×1＋1＋4×12＝7，例4：|b|＝|2n－3m|＝2n－3m2＝4×1＋9×1－12m·n＝4×1＋9×1－12×12＝7，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝12－6×1＋2×1＝－72.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a|·|b|＝－727×7＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a与b的夹角为2π3.[悟一法]1．求向量夹角的方法：(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cosθ＝a·b|a||b|求解．(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cosθ0时，θ∈[0，π2)；当cosθ0时，θ∈(π2，π]，当cosθ＝0时，θ＝π2.误区警示混淆两向量的夹角为钝角与两向量的数量积为负之间的关系而出错【示例】设两向量e1，e2满足：|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°.若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．[错解]由已知得e1·e2＝2×1×12＝1，于是(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te21＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22＝2t2＋15t＋7.因为2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，所以2t2＋15t＋70，解得－7t－12.当两向量反向共线时，其数量积为负，但夹角不是钝角而是平角．[正解]由已知得e1·e2＝2×1×12＝1，于是(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te21＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22＝2t2＋15t＋7.因为2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，所以2t2＋15t＋70，解得－7t－12.但是，当2te1＋7e2与e1＋te2异向共线时，它们的夹角为180°，也有2t2＋15t＋70，这是不符合题意的．此时存在实数λ，使得2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，即2t＝λ且7＝λt，解得t＝±142.故所求实数t的取值范围是t∈(－7，－142)∪(－142，－12)．若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负；反之不成立，因为两向量反向共线时，夹角为平角，即180°，其数量积也为负．