【数学】《学案与测评》2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第三单元第四节 幂 函 数

第四节幂函数基础梳理yx自变量常数1.幂函数概念:一般地,形如的函数称为幂函数,其中x是,α是.2.幂函数的图象(以为例).2yx,yx,1321   ,? yxyyxx，3.幂函数的图象和性质(1)所有的幂函数在上都有定义,并且图象都过点。(2)当α0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是.(3)当α0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是.在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近.(0,+∞)(1,1).增函数减函数y轴x轴(4)当α为奇数时,幂函数为;当α为偶数时,幂函数为.奇函数偶函数4.5个具体幂函数的性质函数特征性质y=xy=x2y=x3定义域·····奇偶性·····在第一象限单调增减性在第一象限单调递·在第一象限单调递·在第一象限单调递·在第一象限单调递·在第一象限单调递·定点·········xy21{x|x≥0}{x|x≠0}1yxRRR奇偶奇非奇非偶奇增增增增减(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(1,1)典例分析题型一幂函数的定义【例1】已知,m为何值时,f(x)是:(1)正比例函数?(2)反比例函数?(3)二次函数?(4)幂函数?(5)在(4)的条件下,满足在(0,+∞)上单调递增?2m)x(mf(x)1-mm22分析(1)(2)(3)(4)分别用相应函数的定义来确定m的值,(5)中则需考查幂函数的性质与幂指数之间的关系.解(1)若f(x)为正比例函数,则1.m02mm1,1-mm22(2)若f(x)为反比例函数,则22mm-11,m1.m2m0(3)若f(x)为二次函数,则22mm-12,-113m2m2m0(4)若f(x)为幂函数,则2m2m1,m12(5)由(4)得,当时,在(0,+∞)上单调递减,不合题意;当时,，在(0,+∞)上单调递增.∴2-1m2-1m2-1xf(x)2--1m2112mm2112mm21xf(x)2--1m学后反思本题考查各种函数的概念,需要根据相应函数的定义列出等式或不等式,并结合函数性质求出参数的值，同时分清哪种条件下的函数是幂函数.举一反三1.如果幂函数的图象不过原点,则m的取值是_________2-m-m223)x3m-(my解析由幂函数的定义,,所以m=1或m=2.又图象不过原点,所以,解得-1≤m≤2.故m=1或m=2皆适合.2m3m312mm20答案1或2题型二幂函数的图象及其应用【例2】点在幂函数f(x)的图象上,点（-2，)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x),g(x)的解析式;(2)问当x取何值时有:①f(x)g(x)?②f(x)=g(x)?③f(x)g(x)?14(2,2)分析先求出幂函数的解析式,再利用图象判断f(x)、g(x)的大小关系.解(1)设,因为点在幂函数f(x)的图象上,将代入中,得,解得a=2,即.设,因为点在幂函数g(x)的图象上,将代入中,得,解得b=-2,即fxxa(2,2)(2,2)fxxaa)2(22fxxgxxb)41(-2,gxxbb(-2)412gxx(2)方法一:在同一坐标系下作出的图象如图所示.由图象可知:①当x1或x-1时,f(x)g(x);②当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);③当-1x1且x≠0时,f(x)g(x).22fxxgxx和方法二:令,得,即,即|x|1.则当x1或x-1时,f(x)g(x).令,得,即x=±1时,f(x)=g(x).令,得，即|x|1,即-1x1且x≠0时,f(x)g(x).4x122x1x2x14x14x122x1x22x1x学后反思(1)求幂函数解析式的一般步骤①设出幂函数的一般形式(α为常数);②根据已知条件求出α的值;③写出幂函数的解析式.yxa(2)本题的第(2)问方法一采用了数形结合的思想,借助图象求出不等式和方程的解.这一问也可用分类讨论的思想,解不等式求x的取值范围,但必须注意g(x)的定义域为{x|x≠0},故f(x)g(x)的解集为{x|-1x1且x≠0},这是本题的易错点.举一反三2.已知幂函数的图象与x轴、y轴均无公共点,且关于y轴对称,试确定f(x)的解析式.Z)(mxf(x)3-2m-m2解析：当m=-1和3时,解析式为当m=1时,解析式为.0fxxx0;4fxx22m-2m-30,m-2m-3m-113mZ,由题意易得是偶数，解得或或题型三幂函数性质的应用【例1】比较下列各组值的大小:11331189（）和（）；223555(2)4.1,3.8(1.9)和；0.50.3(3)0.20.4和分析可借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值。解（1），由于幂函数在（0，+∞）上是减函数，所以因此113319（）=-913yx113389,111133331889--9,即-(2）由于，因此2235554.11,03.8(1.9)1,02235554.13.8(1.9)(3)由于指数函数在R上是减函数，所以又由于幂函数在（0，+∞）上是递增函数，所以，故有0.2xy0.50.30.20.20.3yx0.30.30.20.40.50.30.20.4学后反思比较幂值的大小，常见以下几种类型：（1）同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较；（2）同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较；（3）既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，来确定两个幂值的大小。举一反三3.0ab1时，下列不等式正确的是。①②③④1(1)(1)bbaa(1)(1)abab2(1)(1)bbaa(1)(1)abab解析由0ab1,可知ab,0a1，∴01-b1-a1,∴∴(1)(1),(1)(1),babbaaab(1)(1)abab答案：④题型四幂函数的综合应用【例4】(14分)已知对任意的且,幂函数满足并且对任意的x∈R,f(x)-f(-x)=0.(1)求p的值,并写出相应的函数f(x)的解析式;(2)对于(1)中求得的函数f(x),设函数,问：是否存在实数q(q0),使得g(x)在区间(-∞,-4]上是减函数,且在(-4,0)上是增函数?若存在,求出q的值;若不存在,说明理由.12x,x0,12xx12fxfx,2gxqfx2q1x1分析由条件看出f(x)是偶函数且在(0,+∞)上是增函数.这样,可求出f(x)的解析式,再代入g(x)的表达式得g(x)的解析式.解(1)∵幂函数在(0,+∞)上是增函数,∴,解得-1p3………………………………2′又p∈Z,则p=0,1或2.当p=0或2时,不是偶函数;当p=1时,是偶函数,∴p=1,此时…………………………………………………4′Z)(pxf(x)32p-p22p2p303fxx4fxx4fxx,……………6′设…………………8′∵t=在(-∞,0)上是减函数,∴当x∈(-∞,-4]时,t∈[16,+∞);当x∈(-4,0)时,t∈(0,16)…………………………………10′4222gxqx2q1x1.tx令0).1(t1)t-(2q-qt)tg(G(t)22x当G(t)在[16,+∞)上是增函数,在(0,16)上是减函数时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数,在(-4,0)上是增函数,此时二次函数G(t)的对称轴方程为t=16,…………………………………12′即∴存在符合题意的实数q,…………………14′301-q16,2q1-12(-q)1)-(2q-t301-q学后反思幂函数的图象与性质是本题考查点之一.对于存在性问题,一般先假设存在,再利用若存在则具备什么关系来建立求变量的方程.若求出则说明假设成立;若求不出则假设不成立,即不存在.举一反三4.已知幂函数的图像关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足的的a取值范围223*()mmyxmN33(1)(32)mmaa解析∵函数在（0，+∞）上单调递增∴又∵函数图像关于y轴对称，是偶函数。而为奇函数，为偶函数，∴m=1∵在(-∞,0)和（0，+∞）上均为减函数，且当x0时，,当x0时,∴等价于2230,13mmm解得*,1,2mNm223mm22223321213413yx130x130x1133(1)(32)aa1323210aaaa或或a+103-2a,解得a-1或故a的取值范围为{a︱a-1或}2332a2332a考点演练10.当x∈(0,1)时，的图像在直线y=x上方，求的p取值范围.0)pyxp（解析：结合幂函数在第一象限的图像，当0p1时，在(0,+∞)上是增函数，且x∈(0,1)时，图像在y=x上方；x∈(1,+∞)时，图像在y=x下方，又p=0时，也满足，故0≤p1pyxpyx00)yx=1（x11.(2010黑龙江模拟改编）已知幂函数在(0,+∞)上是减函数，求m的值222()(1)mmfxmmx解析：∵函数f(x)是幂函数又函数f(x)在（0，+∞）上是减函数，综上所述，m=-1211,12mmmm或220,21mmm12.若的图象在[0,+∞)上单调递增,试求解不等式2fxxfx3.Z)(nxf(x)32nn-12解析:由已知得,解得-1n3,又n∈Z,所以n=0,1,2.当n=0或n=2时,2n2n30xf(x)31此时原不等式化为解得x3或x-1;当n=1时,,此时原不等式可化为解得x3或-3≤x-1.综上,当n=0或n=2时,原不等式解集为{x|x3或x-1};当n=1时,原不等式的解集为{x|x3或-3≤x-1}.2xxx3,xf(x)313,xx-x0,3x0,x-x22