2016版高考数学大二轮总复习增分策略 专题三 三角函数 解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象

1第1讲三角函数的图象与性质1．(2015·山东)要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移π12个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π3个单位2．(2015·课标全国Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.kπ－14，kπ＋34，k∈ZB.2kπ－14，2kπ＋34，k∈ZC.k－14，k＋34，k∈ZD.2k－14，2k＋34，k∈Z3．(2015·安徽)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝2π3时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A．f(2)f(－2)f(0)B．f(0)f(2)f(－2)C．f(－2)f(0)f(2)D．f(2)f(0)f(－2)4．(2015·湖北)函数f(x)＝4cos2x2cosπ2－x－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________．1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.2热点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式(1)三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.(3)诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1(1)点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－12，32)B．(－32，－12)C．(－12，－32)D．(－32，12)(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值为________．思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1(1)已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为()A.π4B.3π4C.5π4D.7π4(2)如图，以Ox为始边作角α(0απ)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为－35，45，则sin2α＋cos2α＋11＋tanα＝________.热点二三角函数的图象及应用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象3(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y＝sinx――――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的AA倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．例2(1)(2015·河南省实验中学期中)已知函数y＝3sinωx(ω0)的周期是π，将函数y＝3cos(ωx－π2)(ω0)的图象沿x轴向右平移π8个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)等于()A．3sin(2x－π8)B．3sin(2x－π4)C．－3sin(2x＋π8)D．－3sin(2x＋π4)(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0,0φπ)的图象如图所示，则f(π3)的值为________．思维升华(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．跟踪演练2(1)若将函数y＝tan(ωx＋π4)(ω0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋π6)的图象重合，则ω的最小正值为()A.16B.14C.13D.12(2)(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线4近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5B．6C．8D．10热点三三角函数的性质(1)三角函数的单调区间：y＝sinx的单调递增区间是[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)．(2)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得．y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．例3(2015·皖南八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋3cos(ωx＋φ)(ω0,0|φ|π2)为奇函数，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2.(1)求f(π6)的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．5思维升华函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈[0，π6]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．1．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω0)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是()A．[12，54]B．[12，34]C．(0，12]D．(0,2]62．如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，∠PQR＝π4，M为QR的中点，PM＝25，则A的值为()A.833B.1633C．8D．163．设函数f(x)＝sin(2x＋π3)＋33sin2x－33cos2x.(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间[－π6，π3]上的值域．提醒：完成作业专题三第1讲7二轮专题强化练专题三第1讲三角函数的图象与性质A组专题通关1．若0≤sinα≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是()A.－2π，－7π4∪－5π4，－πB.－2π＋2kπ，－7π4＋2kπ∪－5π4＋2kπ，－π＋2kπ(k∈Z)C.0，π4∪3π4，πD.2kπ，2kπ＋π4∪2kπ＋3π4，2kπ＋π(k∈Z)2．为了得到函数y＝cos(2x＋π3)的图象，可将函数y＝sin2x的图象()A．向左平移5π6个单位B．向右平移5π6个单位C．向左平移5π12个单位D．向右平移5π12个单位3．已知函数f(x)＝cos2π2x＋3sinπ2xcosπ2x－2，则函数f(x)在[－1,1]上的单调递增区间为()A．[－23，13]B．[－1，12]C．[13，1]D．[－34，23]4．(2015·湖南)将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ0＜φ＜π2个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝π3，则φ等于()A.5π12B.π3C.π4D.π685．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解x1，x2，则x1＋x2的值为()A.π3B.2π3C.4π3D.π3或4π36．函数y＝2sin(πx6－π3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为________．7．已知函数f(x)＝3sin(ωx－π6)(ω0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈[0，π2]，则f(x)的取值范围是________．8．给出命题：①函数y＝2sin(π3－x)－cos(π6＋x)(x∈R)的最小值等于－1；②函数y＝sinπxcosπx是最小正周期为2的奇函数；③函数y＝sin(x＋π4)在区间[0，π2]上是单调递增的；④若sin2α0，cosα－sinα0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________．9．(2015·重庆)已知函数f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在π6，2π3上的单调性．10．已知a0，函数f(x)＝－2asin2x＋π6＋2a＋b，当x∈0，π2时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；9(2)设g(x)＝fx＋π2且lgg(x)0，求g(x)的单调区间．B组能力提高11．将函数h(x)＝2sin(2x＋π4)的图象向右平移π4个单位，再向上平移2个单位，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的图象与函数h(x)的图象()A．关于直线x＝0对称B．关于直线x＝1对称C．关于(1,0)点对称D．关于(0,1)点对称12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(0φπ)的图象如图所示，若f(x0)＝3，x0∈(π3，5π6)，则sinx0的值为()10A.43－310B.33＋410C.43＋110D.33＋31013．函数f(x)＝sinωx(ω0)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则f(12)＝________.14．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋π4)(A0，ω0)，g(x)＝tanx，它们的最小正周期之积为2π2，f(x)的最大值为2g(17π4)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)＝32f2(x)＋23cos2x.当x∈[a，π3)时，h(x)有最小值为3，求a的值．学生用书答案精析专题三三角函数、解三角形与平面向量第1讲三角函数的图象与性质11高考真题体验1．B[∵y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，∴要得到y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移π12个单位．]2．D[由图象知，周期T＝254－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝π4，∴f(x)＝cosπx＋π4.由2kππx＋π42kπ＋π，k∈Z，得2k－14x2k＋34，k∈Z，∴f(x)的单调