2015届高考调研文科专题研究 三角函数的值域与最值

专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）专题研究三角函数的值域与最值专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）例1(1)(2011·北京)已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋π6)－1.①求f(x)的最小正周期；②求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）【解析】①因为f(x)＝4cosxsin(x＋π6)－1＝4cosx(32sinx＋12cosx)－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)，所以f(x)的最小正周期为π.专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）②因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.【答案】①π②2，－1专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）(2)已知函数f(x)＝2asin(2x－π3)＋b的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．【解析】∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤23π.∴－32≤sin(2x－π3)≤1.若a0，则2a＋b＝1，－3a＋b＝－5，解得a＝12－63，b＝－23＋123；专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）若a0，则2a＋b＝－5，－3a＋b＝1，解得a＝－12＋63，b＝19－123.综上可知，a＝12－63，b＝－23＋123或a＝－12＋63，b＝19－123.【答案】a＝12－63，b＝－23＋123或a＝－12＋63，b＝19－123专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）探究1化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值．专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）思考题1已知函数f(x)＝cos(π3＋x)cos(π3－x)，g(x)＝12sin2x－14.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合．专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）【解析】(1)f(x)＝cos(π3＋x)cos(π3－x)＝(12cosx－32sinx)(12cosx＋32sinx)＝14cos2x－34sin2x＝1＋cos2x8－3－3cos2x8＝12cos2x－14，∴f(x)的最小正周期为2π2＝π.专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos2x－12sin2x＝22cos(2x＋π4)，当2x＋π4＝2kπ(k∈Z)时，h(x)取得最大值22.h(x)取得最大值时，对应的x的集合为{x|x＝kπ－π8，k∈Z}．【答案】(1)π(2)22{x|x＝kπ－π8，k∈Z}专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）例2求下列函数的值域：(1)y＝sin2xsinx1－cosx；(2)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）【解析】(1)∵y＝2sinxcosxsinx1－cosx＝2cosx1－cos2x1－cosx＝2cos2x＋2cosx＝2(cosx＋12)2－12，于是当且仅当cosx＝1时，ymax＝4.但cosx≠1，∴y4.且ymin＝－12，当且仅当cosx＝－12时取得．故函数值域为[－12，4)．专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）(2)令t＝sinx＋cosx，则有t2＝1＋2sinxcosx，即sinxcosx＝t2－12.∴y＝f(t)＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1.又t＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)，∴－2≤t≤2.专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）故y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－2≤t≤2)．从而知f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋12.则函数的值域为[－1，2＋12]．【答案】(1)[－12，4)(2)[－1，2＋12]专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）探究2可化为y＝f(sinx)型三角函数的值域也可通过换元法转为其他函数的值域．思考题2(1)求函数y＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x的值域．专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）【解析】原函数可化为y＝6cos4x－5cos2x＋1cos2x＝2cos2x－13cos2x－1cos2x.∴y＝3cos2x－1，(cos2x≠12)．∴－1≤y≤2，且y≠12.【答案】[－1，12)∪(12，2]．专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）(2)求f(x)＝cos2x＋asinx的最小值．【解析】f(x)＝1－sin2x＋asinx，令t＝sinx，t∈[－1,1]，∴y＝－t2＋at＋1＝－(t－a2)2＋1＋a24.当a0时，t＝－1时，y取最小值，ymin＝－a.当a≤0时，t＝1时，y取最小值，ymin＝a.【答案】当a0时，t＝－1时，y取最小值，ymin＝－a.当a≤0时，t＝1时，y取最小值，ymin＝a.专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）例3(1)求函数f(x)＝2－sinx2＋cosx的值域．(2)已知f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|，求f(x)的值域．专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）【解析】(1)函数f(x)＝2－sinx2＋cosx，可看作点(2,2)，(－cosx，sinx)两点连线的斜率．点(－cosx，sinx)的轨迹为x2＋y2＝1.函数值域即为(2,2)与单位圆x2＋y2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的斜率存在，不妨设为k.专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）∴切线方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0.∴满足|2－2k|1＋k2＝1，解之得k＝4±73.∴函数f(x)的值域为[4－73，4＋73]．专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）(2)f(x)＝sinxsinx≤cosx，cosxsinxcosx.作出图像，由图像知，－1≤y≤22.【答案】(1)[4－73，4＋73](2)[－1，22]专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）探究3借助一些代数式的几何意义或三角函数的图像可直观地求出函数的值域，从而减少运算量．思考题3求y＝1＋sinx3＋cosx的值域．专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）【解析】1＋sinx3＋cosx可理解为点P(－cosx，－sinx)与点C(3,1)连线的斜率，点P(－cosx，－sinx)在单位圆上，如图所示．专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）故t＝1＋sinx3＋cosx满足kCA≤t≤kCB，设过点C(3,1)的直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k|k2＋1≤1，解得0≤k≤34.从而值域为[0，34]．【答案】[0，34]专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）1.函数y＝sinxcosxtanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）2.求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理，其整理目标为①y＝Asin(ωx＋φ)＋B型；②y＝f(sinx)型．3．－a2＋b2≤asinx＋bcosx≤a2＋b2.4．求三角函数的值域或最值应结合函数的图像、周期、单调性．5．利用导数求三角函数的值域和最值．专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）6．y＝asinx＋bccosx＋d型．(1)转化为Asinx＋Bcosx＝C型．(2)利用直线的斜率求解．7．求三角函数值域或最值时应注意运用换元法，将复杂函数转化为简单函数．专题讲解课时作业高考调研新课标版·高三数学（文）课时作业（二十五）