2017年高考真题--全国Ⅲ卷(文科数学)(含解析)

12017年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ卷）文科数学一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·全国Ⅲ文，1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为()A．1B．2C．3D．42．(2017·全国Ⅲ文，2)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．(2017·全国Ⅲ文，3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(2017·全国Ⅲ文，4)已知sinα－cosα＝43，则sin2α等于()A．－79B．－29C．29D．795．(2017·全国Ⅲ文，5)设x，y满足约束条件3x＋2y－6≤0，x≥0，y≥0，则z＝x－y的取值范围是()A．[－3,0]B．[－3,2]C．[0,2]D．[0,3]6．(2017·全国Ⅲ文，6)函数f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6的最大值为()2A．65B．1C．35D．157．(2017·全国Ⅲ文，7)函数y＝1＋x＋sinxx2的部分图象大致为()8．(2017·全国Ⅲ文，8)执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A．5B．4C．3D．29．(2017·全国Ⅲ文，9)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．πB．3π4C．π2D．π410．(2017·全国Ⅲ文，10)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC11．(2017·全国Ⅲ文，11)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为()A．63B．33C．23D．1312．(2017·全国Ⅲ文，12)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a等于()3A．－12B．13C．12D．1二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2017·全国Ⅲ文，13)已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.14．(2017·全国Ⅲ文，14)双曲线x2a2－y29＝1(a0)的一条渐近线方程为y＝35x，则a＝________.15．(2017·全国Ⅲ文，15)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________.16．(2017·全国Ⅲ文，16)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x0，则满足f(x)＋fx－121的x的取值范围是________．三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答)(一)必考题：共60分17．(2017·全国Ⅲ文，17)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列an2n＋1的前n项和．18．(2017·全国Ⅲ文，18)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶44元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．19．(2017·全国Ⅲ文，19)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.5(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．20．(2017·全国Ⅲ文，20)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．21．(2017·全国Ⅲ文，21)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.6(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0时，证明f(x)≤－34a－2.选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．(2017·全国Ⅲ文，22)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x＝2＋t，y＝kt(t为参数)，直线l2的参数方程为x＝－2＋m，y＝mk(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．723．(2017·全国Ⅲ文，23)[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．8参考答案一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．【答案】B【解析】∵A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，∴A∩B＝{2,4}．∴A∩B中元素的个数为2.故选B.2．【答案】C【解析】∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.3．【答案】A【解析】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A.4．【答案】A【解析】∵sinα－cosα＝43，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝169，∴sin2α＝－79.故选A.5．【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2,0)时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0,3)时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.9所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．故选B.6．【答案】A【解析】方法一∵f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6＝1512sinx＋32cosx＋32cosx＋12sinx＝110sinx＋310cosx＋32cosx＋12sinx＝35sinx＋335cosx＝65sinx＋π3，∴当x＝π6＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值65.故选A.方法二∵x＋π3＋π6－x＝π2，∴f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6＝15sinx＋π3＋cosπ6－x＝15sinx＋π3＋sinx＋π3＝65sinx＋π3≤65.∴f(x)max＝65.故选A.7．【答案】D【解析】当x→＋∞时，sinxx2→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋sinxx2→＋∞，故排除选项B.当0＜x＜π2时，y＝1＋x＋sinxx2＞0，故排除选项A，C.故选D.8．【答案】D【解析】假设N＝2，程序执行过程如下：t＝1，M＝100，S＝0，1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－10010＝－10，t＝2，2≤2，S＝100－10＝90，M＝－－1010＝1，t＝3，103＞2，输出S＝90＜91.符合题意．∴N＝2成立．显然2是N的最小值．故选D.9．【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝1－122＝32.∴圆柱的体积为V＝πr2h＝34π×1＝3π4.故选B.10．【答案】C【解析】方法一如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．故选C.方法二(空间向量法)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E0，12，0，∴A1E→＝－1，12，－1，DC1→＝(0,1,1)，BD→＝(－1，－1，0)，BC1→＝(－1,0,1)，AC→＝(－1,1,0)，∴A1E→·DC1→≠0，A1E→·BD→≠0，A1E→·BC1→＝0，A1E→·AC→≠0，∴A1E⊥BC1.故选C.11．【答案】A【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝2aba2＋b2＝a，解得a＝3b，11∴ba＝13，∴e＝ca＝a2－b2a＝1－ba2＝1－132＝63.故选A.12．【答案】C【解析】方法一f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数．∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝12.故选C.方法二f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1≥2ex－1·e－x＋1＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a＞0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝12.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．【答案】2【解析】∵a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，∴a·b＝0，即－2×3＋3m＝0，解得m＝2.14．【答案】5【解析】∵双曲线的标准方程为x2a2－y29＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±3ax.又双曲线的一条渐近线方程为y＝35x，∴a＝5.15．【答案】75°【解析】如图，由正弦定理，得3sin60°＝6sinB，∴sinB＝22.12又c＞b，∴B＝45°，∴