2.1 矩阵的概念 2.2矩阵的运算

第二章矩阵§2·1矩阵的概念§2·2矩阵的运算§2·3几种特殊的矩阵§2·4分块矩阵§2·5逆矩阵§2·6矩阵的初等变换§2·1矩阵的概念),3,2,1;,3,2,1(njmiaij排成的一个m行n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵。ija矩阵的第i行j列元素定义2·1由m×n个数例如3021221012×4矩阵54331302113×3矩阵矩阵常用的记号：•大写英文字母A、B、C、…A2×4=(aij)3×3=•(aij)•Am×n•(aij)m×n•特别地nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211当m=1时，naaaA11211称为n阶方阵称为行矩阵当n=1时，12111maaaA称为列矩阵当m=n=1时，11aA可视为普通数来处理11a当m=n时，称为零矩阵，记为或O记为或EnE•当0ija时000000000nmO•对n阶方阵A=(aij),若：jiaaijii0,1即100010001A称为单位矩阵，•对矩阵A=(aij)，称(-aij)为矩阵A的负矩阵，记为-A即mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211•矩阵概念与行列式概念的区别：nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111.一个行列式代表一个数mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211一个矩阵代表一个数据表格例如6300220111而表示一个数表3002201112、二者记号不同：行列式用,矩阵用（）。3、行列式的行数和列数必须相同，而矩阵的行数与列数可以不同。【例】对m×n线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111把方程组中系数及常数项按原来次序取出，作一个矩阵ijaibmmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211m×(n+1)增广矩阵A（*）则线性方程组（*）与之间的关系是1-1对应的A=B•把未知量的系数按原来次序拿出来作一个矩阵mnmmnnaaaaaaaaa212222111211m×n=A系数矩阵•把常数列按原来次序拿出来作一个矩阵mbbb21m×1=常数矩阵•把未知量拿出来作一个矩阵n×1=X未知量矩阵nxxx21§2·2矩阵的运算定义2·2若两个有相同行数和相同列数的矩阵nmijaAnmijbB满足),,2,1;,,2,1(njmibaijij则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B例如：若且A=B111230acABbd则有c=0;a=-1;b=2;d=3一、矩阵的加法定义2·3由矩阵A=(aij)m×n与B=(bij)m×n的各对应元素相加而得到的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和。记为：A+B即mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbaaaaaaaaaBA212222111211212222111211mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111•例如212111320112BA则532201BA加法的性质：（1）A+B=B+A（2）(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=A（4）A+(-A)=A-A=O简记为：)()()(ijijijijbabaBA证（2）(A+B)+C=A+(B+C)因为(A+B)+C=[(aij)+(bij)]+(cij)=(aij+bij)+(cij)=(aij)+(bij+cij)=A+(B+C)=(aij+bij+cij)=(aij+bij+cij)•矩阵的减法：()ABAB•例如211111023212AB则112023BA)()(ijijba)(ijijba二、数与矩阵的乘法（简称数乘）定义2·4由常数k乘以矩阵Am×n的每个元素而得到的矩阵，称为数k与矩阵A的乘积，简称数乘。记为kA例如112023A则2240462A111212122212nnmmmnkakakakakakakAkakakaijka•数乘的性质：设A、B、O均为m×n矩阵，k、t为常数,则(1)k(A+B)=kA+kB(2)(k+t)A=kA+tA(3)(kt)A=k(tA)=t(kA)(4)1A=A(5)0A=O(6)若k≠0,A≠O,则kA≠O证(1)k(A+B)=kA+kBmnmnmmmmnnnnbababababababababakBAk221122222221211112121111)(kBkA111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnkakbkakbkakbkakbkakbkakbkkakbkakbkakb111211112121222212221212nnnnmmmnmmmnkakakakbkbkbkakakakbkbkbkakakakbkbkb证(2)(k+t)A=kA+tAmnmmnnaaaaaaaaatkAtk212222111211)(mnmmnnatkatkatkatkatkatkatkatkatk)()()()()()()()()(212222111211mnmnmmmmnnnntakatakatakatakatakatakatakatakataka221122222221211112121111mnmmnnmnmmnntatatatatatatatatakakakakakakakakaka212222111211212222111211tAkA【例2】求矩阵X，使3A+2X=3B。其中103421,321021BA解：由3A+2X=3B解得:2X=3B-3A即)(23ABX所以32102110342123X22240223333603mnmjminijinjsnsjsnjnjmsmmisiiscccccccccbbbbbbbbbaaaaaaaaa111111122211111212111211i行j列三、矩阵与矩阵的乘法定义2·5设矩阵，，由元素smijaA)(nsijbB)(11221sijijijissjikkjkcabababab构成的矩阵称为矩阵A与矩阵B的乘积。nmijcC)(记为C=AB即:关于矩阵乘法的说明：1、只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数相同时，AB才有意义.2、C的行数=第一个矩阵A的行数C的列数=第二个矩阵B的列数nmnssmCBA【例3】设321021A215402134321B求AB解：123412031201234512AB42241154105注：此题BA无意义因为3243AB○○【例】设,求AB,21naaaAnbbbB21解：1212nnaaABbbba111212122212nnnnnnnnababababababababab注此题BA有意义,BA是一个数1212nnaaBAbbbannbababa2211【例】,求AB.321021B400112A解：211201012304AB333231204812注：此题BA有意义211201012304BA但AB与BA的行列数不同22C【例】设,求AB2142A6342B解：24241236AB221632816注：(1)此题BA有意义,BA与AB行列数相同,但AB≠BA24243612BA220000(2)BA=O,但B≠O,且A≠O【例】设求：AB,AC,010001A,011001B001001c解：AB01000101100110012E101000101000AC10012E注：此题AB=AC,且A≠O,但B≠C矩阵乘法与实数乘法的比较：(1)实数乘法满足交换率。即ab=ba矩阵乘法不满足交换率。即AB≠BA(2)实数乘法满足消去率。即：若ab=ac,且a≠0,则有b=c矩阵乘法不满足消去率即：由AB=AC,且A≠O,不能得出B=C(3)在实数乘法中，若ab=0,可推出a=0或b=0在矩阵乘法中，由AB=O不能推出A=O或B=O•矩阵乘法的性质：(1)A(BC)=(AB)C(2)t(AB)=(tA)B=A(tB)(3)(A+B)C=AC+BC(4)A(B+C)=AB+AC(5)AE=EA=A注意：在性质（5）中，若A是m×n矩阵，则AE中的E为En,而EA中的E为Em【例5】对m×n线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111取mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211，mbbbB21，nxxxX2111121121222212nnnmmmnaaaxaaaxxaaambbb211111221211222211221nnnmmmnnmaxaxaxaxaxaxaxaxax