2012高考数学总复习 第5章§5.2等差数列精品课件 理 北师大版

§5.2等差数列§5.2等差数列考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习•面对高考基础梳理1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于__________，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d表示，定义的表达式为___________________．同一个常数an＋1－an＝d(n∈N＋)2．等差数列的有关公式通项公式数列{an}是等差数列，公差为d，an＝a1＋_________.求和公式数列{an}是等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝_____________=_________等差中项公式若三个数a，A，b成等差数列，则中项A＝___________.(n－1)dna1＋nn－12da＋b2na1＋an2思考感悟已知等差数列{an}的第m项am及公差d，则它的第n项an为多少？提示：an＝am＋(n－m)d.3．等差数列的主要性质(1)若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N＋)，则________________.(2)已知等差数列中任意两项am、an，则d＝______.(3)等差数列的单调性设d为等差数列{an}的公差，则当d0时，数列{an}为____数列；当d0时，数列{an}为____数列；当d＝0时，数列{an}为__数列．am＋an＝ap＋aq递减递增am－anm－n常(4)①若数列{an}成等差数列，则{pan＋q}(p，q为常数)也成等差数列；②若数列{an}成等差数列，则{apn＋q}(p，q∈N＋)也成等差数列；③若数列{an}和{bn}成等差数列，则{an±bn}也成等差数列；④等差数列中依次k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，成等差数列．课前热身1．已知等差数列{an}中，a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，则数列的通项公式an为()A．2nB．2n＋1C．2n－1D．2n＋2答案：C2．(2010年高考重庆卷)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5B．6C．8D．10答案：A3．(2009年高考湖南卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35C．49D．63答案：C4．已知{an}是等差数列，a3＋a8＝22，a7＝9，则a4＝________.答案：135．(教材习题改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3n，则{an}的首项为________，公差为________．答案：42考点探究•挑战高考考点突破等差数列的判定1．等差数列的判定通常有两种方法：(1)利用定义，an－an－1＝d(常数)(n≥2)，(2)利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．(1)通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B(A、B是常数)，则{an}是等差数列．(2)前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列．例1(2010年高考安徽卷)设数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0.证明：{an}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N＋，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1.【思路点拨】可利用{an}是等差数列即1anan＋1＝1d(1an－1an＋1)证明必要性；利用等差中项证明充分性．【证明】先证必要性．设数列{an}的公差为d，若d＝0，则所述等式显然成立．若d≠0，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝1d(a2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋an＋1－ananan＋1)＝1d[(1a1－1a2)＋(1a2－1a3)＋…＋(1an－1an＋1)]＝1d(1a1－1an＋1)＝1d·an＋1－a1a1an＋1＝na1an＋1.再证充分性．依题意有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＋1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2.②②－①得1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2－na1an＋1.在上式两端同乘以a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③同理可得a1＝nan－(n－1)an＋1.④③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an)．即an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an}是等差数列．【名师点评】判定数列是等差数列常用定义，而判断数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．变式训练1已知等差数列{an}中，公差d0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝Snn＋c(n∈N＋)，则是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题设知，{an}是等差数列，且公差d0，则由a2a3＝45，a1＋a5＝18，得(a1＋d)(a1＋2d)＝45，a1＋(a1＋4d)＝18.解得a1＝1，d＝4.∴an＝4n－3(n∈N＋)．(2)由bn＝Snn＋c＝n1＋4n－32n＋c＝2nn－12n＋c，∵c≠0，∴可令c＝－12，得到bn＝2n.∵bn＋1－bn＝2(n＋1)－2n＝2(n∈N＋)，∴数列{bn}是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c＝－12，使数列{bn}也为等差数列．等差数列中基本量的计算等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，前n项和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d中，有五个量a1、an、n、d、Sn，通过解方程(组)知三可求二．a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．例2(2009年高考江苏卷)设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22＋a23＝a24＋a25，S7＝7.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得amam＋1am＋2为数列{an}中的项．【思路点拨】本题第(1)问求通项公式an和前n项和Sn，用方程思想求出a1和d即可；第(2)问探究使得amam＋1am＋2为数列{an}中的项时，求所有正整数m的解，可考虑整除方法．【解】(1)由题意，设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，d≠0，由a22＋a23＝a24＋a25知2a1＋5d＝0，①又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②由①②可得a1＝－5，d＝2.所以数列{an}的通项公式an＝2n－7(n∈N＋)，前n项和为Sn＝na1＋an2＝n2－6n(n∈N＋)．(2)因为amam＋1am＋2＝am＋2－4am＋2－2am＋2＝am＋2－6＋8am＋2为数列{an}中的项，故8am＋2为整数，又由(1)知，am＋2为奇数，所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.【名师点评】第(2)问从命题的设置可以看出高考命题者要求考生研究分式的整除性，因此，首先需要将分子am和am＋1转化成am＋2的代数形式，再利用分离分子的方法研究分式的整除，得到满足条件的正整数m的解，我们应注意还要对求出的正整数m的解进行检验．解：由题意得7a1＋7×62d＝7，15a1＋15×142d＝20，解得a1＝34，d＝112.(1)an＝34＋(n－1)×112＝112n＋23，(2)S24＝24×34＋23×242×112＝41.互动探究2若本例中将已知中的“a22＋a23＝a24＋a25”改为“S15＝20”，(1)求通项an；(2)求S24.等差数列的性质此类问题重点是用好等差中项的性质，单调性质，首末两项和的性质及推广，奇偶项和的性质及数列与函数、方程、不等式之间的关系．例3(1)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35(2)(2009年高考海南、宁夏卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝________.【思路点拨】(1)利用“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”这一性质来求；(2)利用S2m－1＝2m－1a1＋a2m－12＝(2m－1)am来求．【解析】(1)∵{an}是等差数列且a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.故选C.(2)由等差数列的性质可知am－1＋am＋1＝2am，∴2am－a2m＝0.∴am＝0或am＝2.又S2m－1＝2m－1a1＋a2m－12＝(2m－1)am≠0，∴am＝2.由2(2m－1)＝38，得m＝10.【答案】(1)C(2)10【名师点评】灵活应用性质，可以减少运算量，大大提高解题速度．等差数列的综合应用数列与函数、不等式、解析几何等综合命题是高考考查的热点，以函数为载体，求解数列问题时要看清它们之间的关系，灵活应用它们是关键，在证明数列中不等问题时，要弄清题意，灵活采用证明不等式的常用方法．例4已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(an，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2b2n＋1.【思路点拨】(1)利用点在函数图像上代入即可得an与an＋1的关系，易求得an.(2)可先求bn，利用累加法或迭代法求得，而后作差比较即可，也可不用求bn而直接利用已知关系式迭代求证即可．【解】(1)由已知得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，又a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，公差为1的等差数列．故an＝1＋(n－1)×1＝n(n∈N＋)．(2)证明：法一：由(1)知：an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.因为bn·bn＋2－b2n＋1＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2·2n＋1＋1)＝－2n0，所以bn·bn＋2b2n＋1.法二：因为b1＝1，bn·bn＋2－b2n＋1＝(bn＋1－2n)(bn＋1＋2n＋1)－b2n＋1＝2n＋1·bn＋1－2n·bn＋1－2n·2n＋1＝2n(bn＋1－2n＋1)＝2n(bn＋2n－2n＋1)＝2n(bn－2n)＝…＝2n(b1－2)＝－2n0，所以bn·bn＋2b2n＋1.【名师点评】本例采用了求差比较法，是高考常考的方法之一，可适当变形以解决它们，运算时要求准确．方法感悟方法技巧1．等差数列的判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项公式：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．(如例1)2．方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．(如例2)3．等差数列的通项公式本身可以由累加法得到．(如例4)4．等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋an2，很像梯形面积公式，其推导方法也与梯形面积公式的推导方法完全一样．(如例3(2))5．等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋nn－12d可以变形为Sn＝12dn2＋(a1－d2)n，类似于匀加速直线运动的路程公式，只要把d理解为加速度．6．公差d＝an－amn－m，类似于由两点坐标求直线斜率的计算．7．当d不为零时，等差数列必为单调数列．8．从一个等差数