高三一轮复习--27平面向量基本定理及坐标表示课件

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第二节平面向量基本定理及坐标表示高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功方案第三步高考成功方案第四步考纲点击1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．答案：B1．已知a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x等于()A．9B．6C．5D．3解析：∵a∥b，∴4×3－2x＝0，解得x＝6.答案：A2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，c＝(6,4)，则c＝()A．4a－2bB．4a＋2bC．－2a＋4bD．2a＋4b解析：设c＝λa＋μb，则有(6,4)＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，∴λ－μ＝6，λ＝4，从而μ＝－2，故c＝4a－2b.3．下列各组向量中，能作为基底的组数为()①a＝(－1,2)，b＝(5,7)；②a＝(2，－3)，b＝(4，－6)；③a＝(2，－3)，b＝(12，－34)．A．0B．1C．2D．3解析：对①，由于－1×7－2×5≠0，所以a与b不共线，故a，b可作为基底；对②，由于b＝2a，a与b共线，不能作为基底；对③，由于－34×2＋3×12≠0，所以a与b不共线，故a，b可作为基底．答案：C4．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与b垂直，则x的值为________．答案：－25解析：a＋xb＝(3＋2x,4－x)，∵(a＋xb)⊥b∴(a＋xb)·b＝0，即2(3＋2x)－(4－x)＝0解得x＝－255.如图所示的平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13，若AB＝a，AD＝b，试用向量a，b表示MN为________．解析：∵BD＝BA＋AD＝－a＋b，BN＝13BD＝－13a＋13b，∴MN＝MB＋BN＝12a＋(－13a＋13b)＝16a＋13b.答案：16a＋13b.定义范围已知两个向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)向量夹角θ的范围是，当θ＝时，两向量共线，当θ＝时，两向量垂直，记作a⊥b.[0，π]0或π非零π21．两个向量的夹角2．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理:如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，一对实数λ1，λ2，使a＝.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组.不共线有且只有λ1e1＋λ2e2基底(2)平面向量的坐标表示：①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对叫做向量a的坐标，记作a＝，其中叫做a在x轴上的坐标，叫做a在y轴上的坐标．②设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为，反之亦成立．(O是坐标原点)(x，y)(x，y)xyA点(x，y)3．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝；(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝；(3)若a＝(x，y)，则λa＝；(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔.(x1±x2，y1±y2)(x2－x1，y2－y1)(λx，λy)x1y2＝x2y1[做一题][例1]如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d表示AB，AD.[自主解答]法一：在△ADM中，AD＝AM－DM＝c－12AB①在△ABN中，AB＝AN－BN＝d－12AD②由①②得AB＝23(2d－c)，AD＝23(2c－d)．法二：设AB＝a，AD＝b，因为M，N分别为CD，BC的中点，所以BN＝12b，DM＝12a，于是有：c＝b＋12a，d＝a＋12b，解得a＝232d－c，b＝232c－d.即AB＝23(2d－c)，AD＝23(2c－d)．[悟一法]1．以平面内任意两个非零不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算．[通一类]1.如图所示，在△OAB中，OC＝14OA，OD＝12OB，AD与BC交于点M，设OA＝a，OB＝b，以a、b为基底表示OM.解：设OM＝ma＋nb(m，n∈R)，则AM＝OM－OA＝(m－1)a＋nb，AD＝OD－OA＝12b－a＝－a＋12b.因为A、M、D三点共线，所以m－1－1＝n12，即m＋2n＝1.而CM＝OM－OC＝(m－14)a＋nb，CB＝OB－OC＝b－14a＝－14a＋b，因为C、M、B三点共线，所以m－14－14＝n1，即4m＋n＝1.由m＋2n＝1，4m＋n＝1，解得m＝17，n＝37，所以OM＝17a＋37b.[做一题][例2]已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)，D(－2,3)．(1)求AD＋2BD－3BC；(2)设CM＝3CA，CN＝－2BC，求MN，及M、N点的坐标．[自主解答](1)由已知得AD＝(－3,5)，BD＝(－4,2)，BC＝(1,1)∴AD＋2BD－3BC＝(－3,5)＋2(－4,2)－3(1,1)＝(－3－8－3,5＋4－3)＝(－14,6)．(2)设M的坐标为(xM，yM)，则由CM＝3CA得(xM－3，yM－2)＝3(－2，－4)．∴xM－3＝－6，yM－2＝－12.∴xM＝－3，yM＝－10.∴M的坐标为(－3，－10)．同理求得N的坐标为(1,0)，∴MN＝(4,10)．[悟一法]1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同，此时注意方程(组)思想的应用．[通一类]2．已知点A(－1,2)，B(2,8)以及AC＝13AB，DA＝－13BA，求点C、D的坐标和CD的坐标．解：设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，得AC＝(x1＋1，y1－2)，AB＝(3,6)，DA＝(－1－x2,2－y2)，BA＝(－3，－6)．因为AC＝13AB，DA＝－13BA，所以有x1＋1＝1y1－2＝2，和－1－x2＝1，2－y2＝2.解得x1＝0y1＝4和x2＝－2，y2＝0..所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD＝(－2，－4).[做一题][例3]平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d.[自主解答](1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以－m＋4n＝3，2m＋n＝2，得m＝59，n＝89.(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－1613.(3)设d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)，由题意得4x－4－2y－1＝0，x－42＋y－12＝5，得x＝3，y＝－1或x＝5，y＝3.∴d＝(3，－1)或(5,3)．本例(2)成立的前提下，a＋kc与2b－a是同向还是反向．解：由例题知，k＝－1613.∴a＋kc＝(3,2)－1613(4,1)＝(－2513，1013)，2b－a＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，∴a＋kc＝513(2b－a)，又∵513＞0，∴a＋kc与2b－a同向．[悟一法]1．运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合．2．根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，充分体现了方程思想在向量中的应用．解：∵ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，∴ka＋b与a－3b平行等价于(k－3)(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－13.故当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行．此时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，∴ka＋b与a－3b反向．[通一类]3．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行；平行时它们是同向还是反向？[热点分析]平面向量的坐标运算及向量共线的坐标表示既是重点又是考查的热点．本节试题多以选择题或填空题形式出现，同时又注重对函数与方程、转化化归等思想方法的考查．[考题印证](2011·北京高考)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________.[考题纠错]————————(前人之鉴，后人之师)[错解一]a－2b＝(3，3)，c＝(k，3)．由(a－2b)∥c⇒3k－33＝0，得k＝3.[错解二]a－2b＝(3，3)，c＝(k，3)，由(a－2b)∥c⇒3k＋33＝0.得k＝－3.[错因]错解一是因为将共线向量坐标表示的公式记错．错解二是将共线向量坐标表示公式与向量垂直坐标公式混淆．[正解]a－2b＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)，∵a－2b与c共线，∴3×3－3k＝0，解得k＝1.[答案]11．已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若AB∥a，则实数y的值为()A．5B．6C．7D．8答案：C解析：AB＝(2，y)－(－1,1)＝(3，y－1)，∵AB∥a，∴y－1－6＝0，y＝7.2．已知A(－3,0)、B(0,2)．O为坐标原点，点C在第二象限内，且∠AOC＝45°，设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ的值为()A．1B.13C.12D.23解析：设C(x，y)，则x＝－y由OC＝λOA＋OB，得(x，y)＝λ(－3,0)＋(0,2)∴x＝－3λy＝2，∴－3λ＝－2，∴λ＝23.答案：D3．若α，β是一组基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，则(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)解析：由题意，a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)．设a在基底m，n下的坐标为(λ，μ)，则a＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)＝(2,4)．故－λ＋μ＝2，λ＋2μ＝4解得λ＝0，μ＝2即坐标为(0,2)．答案：D4．已知直角坐标平面内的两个向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb，则m的取值范围是________．解析：∵c可唯一表示成c＝λa＋μb，∴a与b不共线，即2m－3≠3m，∴m≠－3.答案：{m|m∈R，m≠－3}解析：由OC＝23OA＋13OB，得3OC＝2OA＋OB，∴2(OC－OA)＝OB－OC，即2AC＝CB，∴3AC＝AB，从而|AC||AB|＝13.答案：135．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足OC＝23OA＋13OB，则|AC||AB|＝________.点击下图片进入•再见