matlab-数学实验-实验报告-欧拉公式-ROSSLER微分方程

第1页/共8页数学实验—实验报告一、实验项目：二、实验目的和要求1、本章将对人口变化、动物种群变迁、网络系统的可靠性分析，介绍微分方程（组）的模型建立、数值解和图形解等方法，并用MATLAB几何直观地展示各种求解方法的求解结果。2、利用欧拉公式求解方程三、实验题目问题一：求微分方程的解析解，并画出它们的图形，y’=y+2x,y(0)=1,0x1;问题二：用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y’=y-2x/y,y(0)=1的数值解（0≤x≤1,h=0.1）要求编写程序。问题三：Rossler微分方程组当固定参数b=2,c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a∈(0,0.65]）而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？问题四：水的流出时间一横截面积为常数A，高为H的水池内盛满水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为v=(2gh)0.5，求在任意时刻的水面高度和将水放空所需的时间。时间t→高度h。问题五：考虑相互竞争模型两种相似的群体之间为了争夺有限的同一种事物来源和生存空间而进行生死存亡竞争时，往往是竞争力较弱的种群灭亡，而竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量假设有甲、乙两个生物种群，当它们各自生存于一个自然环境中，均服从Logistics规律。三、实验过程问题一：用matlab编写代码：x=[0,1]y=dsolve('Dy=y+2*x')y=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')ezplot(x,y)输出：y=-2*x+exp(t)*C1（通解）y=-2*x-2+3*exp(x)画图：x=0:0.01:1;y=-2*x-2+3*exp(x);plot(x,y)'''()xyzyxayzbzxc第2页/共8页00.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.522.533.544.5问题二：1、分析：解：（1）解析解法得到其精确解：y=21x（2）向前欧拉法：1(2/)nnnnnyyhyxy(1)2/nnnhyhxy迭代公式为n+1y1.10.2/nnnyxy，其中0y=y(0)=1（3）改进欧拉法：n+1nnnnn+1n+1n+1nnnnnnnnnnnnn2nnnnny=y+(h/2)*[(y-2x/y)+(y-2x/y)]=y+(h/2)*[(y-2x/y)+(y+h-2(x+h)/(y+h))]=y+(h/2)*[2y2x/y2(x+h)/(y+h)]=(1+h)y/2x/y(x+h)/(y+h)hhhh迭代公式为n+1y1.10.1/0.1()/()0.005nnnnnyxyxhyh，其中0y=y(0)=12、Matlab编码x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;h=0.1;fork=1:10x1(k+1)=x1(k)+h;y1(k+1)=(1-h)*y1(k)+2*h*x1(k)/y1(k);y2(k+1)=(1+h)*y2(k)+(h*h)/2-h*x1(k)/y2(k)-h*(x1(k)+h)/(y2(k)+h);第3页/共8页endx=0:0.1:1;y=(2*x+1).^(1/2);x1=x1(1:11),y=y(1:11),y1=y1(1:11),y2=y2(1:11),plot(x,y,x1,y1,'k:',x1,y2,'r--')显示图像及结果：x1=00.10000.20000.30000.40000.50000.60000.70000.80000.90001.0000y=1.00001.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321y1=1.00000.90000.83220.79710.79260.81430.85570.91030.97311.04021.1092y2=1.00001.09591.18471.26791.34681.42221.49481.56531.63401.70161.768300.10.20.30.40.50.60.70.80.910.811.21.41.61.82图中，蓝色曲线是精确解，红色曲线是向前欧拉法曲线，黑色曲线是改进后欧拉法曲线问题三1、matlab编程functionr=rossler(t,x)globala;globalb;globalc;r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)];globala;第4页/共8页globalb;globalc;b=2;c=4;t0=[0,200];fora=0:0.02:0.65[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]);subplot(1,2,1);plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');title('x(ºìÉ«),y(ÂÌÉ«),z(ÀºÉ«)Ëæt±ä»¯Çé¿ö');xlabel('t');subplot(1,2,2);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))title('Ïàͼ');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');pauseend当a=0时，图像如下050100150200-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6x(红色),y(绿色),z(篮色)随t变化情况t-0.500.5-1-0.5000.20.40.60.8x相图yz当a=0时，(x,y,z)收敛于（0,0.5,0.5）当a=0.12时，图像如下第5页/共8页050100150200-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6x(红色),y(绿色),z(篮色)随t变化情况t-0.500.51-1.5-1-0.5000.20.40.60.8x相图yz当a=0.28时，(x,y,z)仍然收敛，但是收敛速度大大降低。当a=0.28时，图像如下050100150200-5-4-3-2-101234x(红色),y(绿色),z(篮色)随t变化情况t-505-50500.511.522.53x相图yz第6页/共8页当a=0.4时，图像如下050100150200-6-4-20246x(红色),y(绿色),z(篮色)随t变化情况t-50510-10-5050123456x相图yz当a=0.52时，图像如下050100150200-10-5051015x(红色),y(绿色),z(篮色)随t变化情况t-50510-10-505051015x相图yz第7页/共8页有一系列图看出，随着a的增大，(x,y,z)接近其极限环的速度加快。a增大时，任意周期的极限环的稳定性都将失去。这就是形成混沌的必要条件。问题四：水的流出时间Matlab编码：h=dsolve('Dh=-(B*(2*g*h)^1/2)/A','h(0)=H','t')得结果：h=H*exp(-B*g/A*t)令h=0得到将水放空所需的时间为T=A/(B*g)问题五：.考虑相互竞争模型分析：x1(t)，x2(t)是两个种群的数量；r1，r2是它们的固有增长率；n1，n2是它们的最大容量；m2(m1)为种群乙（甲）占据甲（乙）的位置的数量，并且m2=αx2；m1=βx1dx1/dt=r1*x1*(1-(x1+m2)/n1)dx2/dt=r2*x2*(1-(x2+m1)/n2)(1)设r1=r2=1，n1=n2=100，m1=0.5，m2=2，x10=x20=10，计算x(t)，y(t)，出图形及相图，并解释器变化过程。(2)改变r1，r2，n1，n2，x0，y0，而α，β不变，计算并分析结果；若α=1.5，β=0.7，再分析结果。由此能得到什么结论。用matlab编程：functionl=logistic(t,x)r=[11];n=[100100];m=[0.52];l=[r(1)*x(1)*(1-(x(1)+m(2))/n(1));r(2)*x(2)*(1-(x(2)+m(1))/n(2))];x0=[1010];t0=[015];plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g');xlabel('时间');ylabel('种群数量');title('种群数量与时间');pauseplot(x(:,1),x(:,2));xlabel('种群1的数量');ylabel('种群2的数量');title('相图');第8页/共8页012345678910102030405060708090100时间种群数量种群数量与时间102030405060708090100102030405060708090100种群一的数量种群二的数量相图种群数量先增加后趋于平稳，随着时间的增加，种群数量增加的速度开始变得缓慢，接近于种群数量的包和值。两者数量基本持平，种群二略占优势。当时间足够长时，两者都将趋向于环境的最大容量。