w第4章 线性方程组解的结构

-1-第四章线性方程组的解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.3非齐次线性方程组解的结构§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理-2-§4.1线性方程组解的存在性定理在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。-3-(4-1)mnmnaaaaA1111mbbb1nxxx1bxxxbAxnn2121),,,(mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(原始形式)bAx(矩阵形式)bxxxnn2211(向量形式)-4-非齐次方程组解的存在性定理定理4.1.1对于非齐次方程组)0(bbxAnm)~()()~()()1(ArArArAr无解有解nArAr)~()()2(有唯一解nArAr)~()()3(有无限多解(4-1)向量可由A的列向量组n,,,21线性表示。-5-定理4.1.2nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设nn的线性方程组0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD的系数行列式Cramer法则则方程组有唯一解,且解为:njDDxjj,,2,1,(4-2)-6-齐次方程组解的存在性定理(4-3)mnmnaaaaA111100bnxxx10Ax(矩阵形式)02211nnxxx(向量形式)000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(原始形式)-7-定理4.1.3对于齐次方程组0xAnmnAr)(只有零解nAr)(有非零解即有无限多解(1)A的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关推论1当方程的个数m小于未知量的个数n，则齐次方程组必有非零解。-8-定理4.1.4000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa设nn的线性方程组有非零解(4-4)0D学习书P.135例2-9-第四章线性方程组的解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.3非齐次线性方程组解的结构§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理-10-§4.2齐次线性方程组解的结构(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大无关组(又称为基础解系)如何求?0Ax齐次方程组(假设有无穷多解)(1)解集的特点?是方程组的解，若nncxcx,,11.),,(1为方程组的解向量则称Tnccx称：-11-性质1：若是(4-3)的解，12,解空间:0AX的所有解向量的集合S，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。{|0,}nSXAXXR的解。也是则)34(21性质2：,)34(1Rk的解，是若的解。也是则)34(1k注：如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。性质推论1而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。首先回答问题(1)0Ax-12-设A是mn矩阵，如果(),rArn则齐次线性方程组0AX的基础解系存在，且每个基础解系中含有nr个解向量。定理4.2.1推论2设A是mn矩阵，如果(),rArn则齐次线性方程组0AX的任意个线性无关的解向量均可构成基础解系。nr-13-设12,,,nr是0AX的解，满足121,,,nr（）线性无关；20AX（）的任一解都可以由12,,,nr线性12,,,nr是0AX的一个基础解系。基础解系表示,则称下面我们用一个例子回答第(2)和第(3)个问题，同时也是定理4.2.1的例证。ttkkkx2211(取任意实数)ik从而也是(4-3)的解。-14-齐次线性方程组基础解系的证明（基础解系求法）000010011111rn,rrrn,bbbb~A（1）对系数矩阵A进行初等变换，将其化为最简形-15-nrn,rrrrnrn,rxbxbxxbxbxAx11111110由于分别令.,,,xxxnrr10001000121（2）得出，同时也可知方程组含有rARrn个自由未知量：12,rrnxxx-16-1111100rbb1222010rbb1,,.001nrrnrnrbb,bb,,bb,bbxxrn,rrn,rrr12121111得于是得-17-下证12,,,nr是方程组的基础解系由上式可以看出，12,,,nr就是n-r个n-r维单位坐标向量，它们是线性无关的12,,,nr也是线性无关的后n-r个分量，因而添加了r个分量的向量组-18-与1111100rrbbd1222010rrbbd1,,.001nrrnrnbbd比较112rrrnddddd现在证明任一解可以由，线性表示1112(,,,,,)Trrnnrdddd最后n-r个分量即自由未知量相同，从而两个解完全一样．即r+11r+22nn-rξ=dξ+dξ++dξ-19-于是得通解1111nnxccc所以，12n-rξ,ξ,,ξ是方程组的基础解系-20-因为秩(A)24，所以方程组有非零解。。x12x1x12x2x2x22x32x34x3x42x43x4000解：212211431221A0364036412210364000012210124/3000012210124/300001025/3，例1．解线性方程组通解为x1x2x3x422105/34/301c2c1，(c1，c2是任意常数)。-21-例1．解线性方程组。x12x1x12x2x2x22x32x34x3x42x43x4000解：212211431221A0124/300001025/3，对应方程(x3，x4为自由未知量)，x1x22x32x3(5/3)x4(4/3)x43410,01xx令1221025/34/301得基础解系通解为x1x2x3x422105/34/301c2c1，(c1，c2是任意常数)。-22-说明：通过基础解系求通解和原来方法求出的通解是一样的，过程稍有一点区别而已-23-例2解线性方程组076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解76513123115531234111A对系数矩阵施行初等行变换-24-00000000001311034111~,rn,n,rAR352即方程组有无穷多解，其基础解系中有三个线性无关的解向量.543254321334xxxxxxxxx代入26220262201311034111~543xxx令,010,001.100-25-所以原方程组的一个基础解系为,001121故原方程组的通解为.kkkx332211.k,k,k为任意常数其中321,xx1221依次得.12,31,010312.100123-26-例2设,是的1)(nArnm21,0Ax两个不同的解向量,k取任意实数,则Ax=0的通解是)((D))((C)(B)(A)212121kkkk-27-设,证明OBAlnnmnBrAr)()(证],,,[21lB记则由),,1(0liAOABi说明),,1(lii都是0Ax的解)())((],,,[21ArnANrrl因此nBrAr)()(移项重要结论推论3-28-的三个解向量，是设OAXAr32156,,,2)(且线性无关，则_______是AX=O的基础解系。;,)1(3221;,,)2(321;,,)3(133221.,,)4(133221(2),(3)的不同的解，是设OAX21,,1)(nArnm则_______可为AX=O的基础解系。;)1(11k;)2(22k);()3(21k).()4(21k(4)练习(1)(2)-29-例3)()()(TTAArAArAr证明设,首先证明nmA0)(,0)(,0xAAxAxxAATT即则满足若00)()(AxAxAxT同解与0)(0xAxAnnTnmA)()()()(AArArAArnArnTT因此即则满足若,0)(,0)(xAxAxAxATTT)()())(()(ArArAArAArTTTTT利用这一结论证重要结论-30-例4求一个齐次方程组,使它的基础解系为T)3,2,1,0(1T)0,1,2,3(2记之为AB=O,这相当于要解矩阵方程,习惯把未知OABTT0xBT的A放在右边,转置,只需解然后再把这些解拼成的列(A的行)即可.TA01233210TB解得基础解系0xBT,)0,1,2,1(1TT)1,0,3,2(2设所求的齐次方程组为,则0AxOA],[21取1032012121TTA即可.解第四章线性方程组的解的结构§4.4线性方程组在几何中的应用§4.3非齐次线性方程组解的结构§4.2齐次线性方程组解的结构§4.1线性方程组解的存在性定理-32-§4.3非齐次线性方程组解的结构以下总假设)1(bxAnm有解,而其对应的齐次方程组)2(0xAnm的基础解系为rn,,,21这里)r(Ar-33-)1(......bxAnm)2(......0