变异函数及结构分析

——地统计学的工具第四章变异函数及结构分析一、协方差函数的计算公式第一节协方差函数和变异函数的性质设区域化变量Z(x)满足(准)二阶平稳假设，h为两样本点空间分隔距离，Z(xi)与Z(xi+h)分别是Z(x)在空间位置xi和xi+h上的观测值(i=1,2,…N(h)),则计算协方差的公式为：的样本平均数和分别为和时的样本对数，是分隔距离为式中，)()()()(hh)(])()(][)()([)(1)()(1#hZZhZZNhZhZZZhNhxxxxxxxxCiiiihNiiiii)()()(1)()(1)(11hZZnhZnhZZnZxxxxxxiiniiiniii况下，为样本单元数。一般情式中，)(12#)]()([)(1)((m)()(hNiiiiimxxCxxhZZhNhhZZ：协方差计算公式可变为常数）时，当NiiihNiixxmxCZNZZhNh1)(122#)(1)(m)]([)(1)0(0式中变为：时，协方差计算公式可当）（）（）（式为：则空间相关函数计算公0hh###CC协方差函数曲线图：以h为横坐标，C#(h)为纵坐标作图二、协方差函数的性质区域化变量Z(x)在二阶平稳假设下，其协方差函数存在且平稳，定义为hxC(h)m-h)]E[Z(x)Z(xh)](xE[Z(x)]E[Z-h)]E[Z(x)Z(xh)]}E[Z(x-h)(xE[Z(x)]}{Z-E{Z(x)h)}Z(xCov{Z(x),21.C(0)=Var[Z(x)]≥0，即先验方差不能小于零2.C(h)=C(-h)，即C(h)对h=0的直线对称，是一个偶函数证：]-h)][Z(x-E[Z(x)h)]}E[Z(x-h)(xE[Z(x)]}{Z-E{Z(x)C(h)mm]-h)][Z(x-E[Z(x)C(-h)mm令x-h=y，则x=y+h，带入上式得C(h)]-h)][Z(y-)E[Z(]-)][Z(-h)E[Z(yC(-h)mmymym图形特征及含义3.|C(h)|≤C(0)，即协方差函数绝对值小于等于先验方差证：0]}-h)[Z(x]-E{[Z(x)2mm0m]m][Z(x)h)2E[Z(x2m]h)E[Z(x2m]E[Z(x)0)(2)0()0(hCCC0)()0(hCC|)(|)0(hCC4.|h|→∞时,C(h)→0，或写作C(∞)=0，即当空间距离很大时，协方差函数值很小意义(空间局限性)：当距离很大时，Z(x)和Z(x+h)之间的线性相关基本不存在5.C(h)必须是一个非负定函数，由C(xi-xj）构成的协方差函数矩阵必须是非负定矩阵正定条件(positivedefinitecondition)区域化变量Z(x)二阶平稳，其数学期望为m，协方差为C(h),变异函数为γ(h)，令Y是该类型区域化变量的任意有限线性组合，即：)(1iniixZY0)]([)(2YEYEYVar21]})([{mxZEinii211])([niiiniimxZE])([])([11mxZmxZEjninjiji)](),([11jninjijixZxZCov0)(11jninjijixxC较难理解则由C(xi-xj）(i,j=1,2…n)构成的协方差函数矩阵是非负定矩阵，即C(h)为非负定函数二阶平稳区域化变量的协方差函数是有条件的三、实验(经验)变异函数(experimentalvariogram)的计算公式设区域化变量Z(x)满足(准)二阶平稳条件或(准)本征假设，h为两样本点空间分隔距离，Z(xi)与Z(xi+h)分别是Z(x)在空间位置xi和xi+h上的观测值(i=1,2,…N(h)),则计算实验变异函数的公式为：时的样本对数是分隔距离为式中，hh)()]()([)(21)(2)(1#NhZZhNhhNiiixx变异函数曲线图：以h为横坐标，γ#(h)为纵坐标作图变异函数计算实例（1）一维变异函数的计算x1x2x3x4x5x6x7x8x9x104345797877以下为一研究对象在水平方向上的采样数据，满足二阶平稳或本征假设，采样值如图所示，点间分隔距离h=1米，计算γ#(h)两方面理解：变异性的理解与相关性的理解作业：x1x2x3x4x5x6x7x824315364以下为一研究对象在水平方向上的采样数据，满足二阶平稳或本征假设，采样值如图所示，点间分隔距离h=1米，计算γ#(1),γ#(2),γ#(3)（2）二维变异函数的计算下图为正方形网格状的采样数据，*号处为无数据点，点间距离h为100米，请分别计算南北、东西、西北和东南方向上的变异函数值。西北和东南方向上的变异函数值的计算，注意分隔距离h的确定和样本数据对的查找作业：下图为正方形网格状的采样数据，网格交叉空白处为无数据点，点间距离h为a米，请分别计算南北方向γ#(a),西北—东南方向上γ#(a)。2四、变异函数的性质区域化变量Z(x)满足二阶平稳或本征假设条件，则变异函数存在且平稳，计算公式为hxh)]Z(x-E[Z(x)21)(2h1.γ(0)=0，即在h=0时，变异函数为零2.γ(h)=γ(-h)，即γ(h)对h=0的直线对称，是一个偶函数00)]Z(x-E[Z(x)21)0(2证：)(C(h)-C(0)C(-h)-C(0))(hh证：3.γ(h)≥0,即研究现象的变异性只能大于或等于零0h)]Z(x-E[Z(x)21)(2h证：4.|h|→∞时,γ(h)→C(0)，或写作γ(∞)=C(0)，即当空间距离很大时，变异函数值接近先验方差C(0)0-C(0))C(-C(0))(证：5.[-γ(h)]必须是一个条件非负定函数，即由[-γ(xi-xj)]构成的变异函数矩阵必须是条件非负定矩阵。为非负定阵则矩阵成立若条件)]([,01xxjinii区域化变量Z(x)二阶平稳，其数学期望为m，协方差为C(h),变异函数为γ(h)，令Y是该类型区域化变量的任意有限线性组合，即：0)(11niiiiniixZY满足条件，权系数)]()0([)()(1111jninjijijninjijixxCxxCYVar)]([))()(0(1111jninjijinjjniixxC0)]([11jninjijixx函数为非负定非负定矩阵，或说函数组成的矩阵为条件即由)h()0(),...,2,1,)((1niijinjixx区域化变量Z(x)的变异函数γ(h)是有条件的，即需满足条件非负定条件五、协方差函数与变异函数的关系)()0()()()0()(hChChCCh)()()0(hhCC变异性值之和是常量对象相关性和即对一确定的研究区及变异函数之和，先验方差等于协方差和值变化相反变异函数与协方差函数协方差函数和变异函数的曲线图问题：为什么只画出了h0的关系图？当h足够大(即存在a0，当h≥a)时，可以使C(h)=0,γ(h)=C(0),a称为变程(range)1、变程a表示区域化变量从存在空间相关状态(当|h|a时）转向不存在空间相关状态(当|h|a时)的转折点2、变程a的大小反映区域化变量影响范围的大小，或说反映该变量自相关范围的大小。也可说变程a是区域化变量空间变异尺度或空间自相关尺度变程a的意义：第二节变异函数的功能一、变异函数通过“变程”反映变量的影响范围——变异函数的跃迁现象变异函数γ(h)是一个单调递增函数，当h超过某一数值(变程a)后，γ(h)不再继续单调地增大，而往往稳定在一个极限值γ(∞)附近，这种现象称为“跃迁现象”(transitionphenomena)γ(∞)极限值称为基台值(sill),即C(0)【二阶平稳条件】，基台值的大小反映变量变化幅度的大小凡具有一个变程a和一个基台值的变异函数，称为“跃迁型”的变异函数“变程”反映变量的影响范围(图示）二、不同方向上的变异函数图可反映区域化变量的各向异性——变异函数表示的各向异性如果在各个方向上区域化变量的变异性相同或相近，则称区域化变量是各向同性的，反之称为各向异性通过作出各个方向上的变异函数图，并放到一起来比较、分析、研究，就可以确定区域化变量的各向异性（包括有无各向异性，及各向异性的类型等）三、块金常数C0的大小可反映区域化变量的随机性大小——变异函数的块金效应当h=0时，变异函数γ(h)≠0，而等于一个常数C0，这种现象称为“块金效应”(nuggeteffect),C0称为块金常数或块金方差(nuggetvariance)块金效应的图形表示“块金效应”主要有两种来源：1、区域化变量在小于抽样尺度h时所具有的变异性2、采样分析误差当样点间的距离大于微域结构的范围，或样点的大小大于微域结构的范围就会出现块金效应（Webester，1985）四、变异函数在原点处的性状可反映区域化变量的空间连续性变异函数在原点处的性状主要有五种类型，每种类型反映了变量的不同程度的空间连续性1、抛物线型（parabolictype）当|h|→0时,γ(h)→A|h|2(A为常数)，即变异函数曲线在原点处趋向一条抛物线，反映区域化变量是具有高度连续性的，如矿层厚度2、线性型（lineartype）当|h|→0时,γ(h)→A|h|(A为常数)，即变异函数曲线在原点处趋向一条直线，或说在原点处有斜向的切线存在，反映区域化变量是具有平均的连续性，如金属品位3、间断型（discontinuoustype）当|h|→0时,γ(h)→C0，即变异函数曲线在原点处间断，说明块金效应存在，又称“块金效应型”，反映区域化变量的连续性很差，但当h增大时，γ(h)又变的较为连续了，如金品位4、随机型（randomtype）这种变异函数可看成具有基台值C0和无穷小变程a的跃迁型变异函数，则无论h多小，h总大于a，故Z(x)与Z(x+h)总是互不相关0,)0(0,0)(0hChh又称纯块金效应型，反映了区域化变量完全不存在空间相关的情况，则本质上此区域化变量为普通随机变量此时，C0=C(0)5、过渡型：介于抛物线型和随机型间当|h|→0时,γ(h)→C0，即有块金效应；当|h|=a时,γ(a)=C(0)，即有基台值(C0+C)和变程a,C称为“拱高”过渡型是实际研究工作中最常遇到的一种类型第三节变异函数的理论模型思考：是否有了采样数据及变异函数计算公式就可以获知任意距离h的区域化变量变异性？设Z(x)具有各向同性的变异函数γ(h)，则常见的变异函数模型如下：变异函数的理论模型有基台值模型无基台值模型可以有或无基台值模型：孔穴效应模型球状模型、指数模型高斯模型线性有基台模型纯块金效应模型幂函数模型对数模型线性无基台模型一、有基台值模型1、球状模型（sphericalmodel）ahCCahahahCChh03300)223(00)(若模型满足二阶平稳假设，且有有限先验方差，γ(h)值随h的变大而增大，当h达一定值(ha)时，γ(h)达到一定值——基台值，则称此类模型为有基台值模型式中：C0为块金常数，(C0+C)为基台值，C为拱高，a为变程当C0=0，C=1，称为标准球状模型，其图形为：原点处切线的斜率为3/2a,与基台值线交点的横坐标为2a/3球状模型是地统计学应用最广的理论模型，许多区域化变量的理论模型都可以用球状模型来拟合2、指数模型（exponentialmodel）0)1(00)(0heCChhah式中：C0，C意义同前，但a不是变程当C0=0，C=1，称为标准指数模型，其图形为：由于1-e-3=1-0.05=0.95≈1