5.3 现代控制理论系统镇定解析

第五章线性系统综合5.3系统镇定受控系统通过状态反馈(或者输出反馈),使得闭环系统渐近稳定,这样的问题称为镇定问题。能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定的。镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内。镇定问题的重要性主要体现在3个方面:首先,稳定性往往是控制系统能够正常工作的必要条件,是对控制系统的最基本的要求;其次,许多实际的控制系统是以渐近稳定作为最终设计目标;最后,稳定性往往还是确保控制系统具有其它性能和条件,如渐近跟踪控制问题等。镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况,它只要求把闭环极点配置在s平面的左侧,而并不要求将极点严格配置在期望的极点上。为了使系统稳定,只需将那些不稳定因子,即具有非负实部的极点,配置到s平面的左半开平面即可。因此,通过状态(输出)反馈矩阵使系统的特征值得到相应配置,把系统的特征值(即的特征值)配置在平面的左半开平面就可以实现系统镇定。下面分别介绍基于状态反馈输出反馈的2种镇定方法。5.3.1状态反馈镇定线性定常连续系统状态反馈镇定问题可以描述为:对于给定的线性定常连续系统(A,B,C),找到一个状态反馈控制律:vxuKuxxBBKA)(使得闭环系统状态方程是镇定的,其中K为状态反馈矩阵,v为参考输入。对是否可经状态反馈进行系统镇定问题,有如下2个定理。定理5-3状态完全能控的系统(A,B,C)可经状态反馈矩阵镇定。证明根据状态反馈极点配置定理5-1,对状态完全能控的系统,可以进行任意极点配置。因此,也就肯定可以通过状态反馈矩阵K将系统的闭环极点配置在s平面的左半开平面之内,即闭环系统是镇定的。故证明了,完全能控的系统,必定是可镇定的。定理5-4若系统(A,B,C)是不完全能控的,则线性状态反馈使系统镇定的充要条件是系统的完全不能控部分是渐近稳定的,即系统(A,B,C)不稳定的极点只分布在系统的能控部分。证明(1)若系统(A,B,C)不完全能控,可以通过线性变换将其按能控性分解为:2212111~0~~~AAAAPPAcc0~~11BBPBc]~~[~21CCCPCc其中,为完全能控子系统;为完全不能控子系统。1111(,,)cABC222(,0,)ncAC(2)由于线性变换不改变系统的特征值,故有:11112111222222||||||||0sIAAsIAsIAsIAsIAsIA(3)由于原系统(A,B,C)与结构分解后的系统在稳定性和能控性上等价,假设K为系统的任意状态反馈矩阵,对引入状态反馈阵,可得闭环系统的系统矩阵为(,,)ABC]~~[~21KKKPKc1112111112121122222000AAABKABKBABKKKAA基于线性系统能控结构分解方法和状态反馈极点配置方法,可得到如下状态反馈镇定算法。状态反馈镇定算法:步1:将可镇定的系统(A,B,C)进行能控性分解,获得变换矩阵Pc,并可得到111211122,00cccAABAPAPBPBA其中,为完全能控部分,为完全不能控部分但渐近稳定。)~,~(111BA22(,0)A步2:利用极点配置算法求取状态反馈矩阵,使得具有一组稳定特征值。步3:计算原系统(A,B,C)可镇定的状态反馈矩阵例给定线性定常系统试设计状态反馈矩阵K,使系统镇定.11[0]cKKP1111~~~KBA1Kuxx100110111010210解:1)对系统进行能控性分解。表明系统不完全能控.取能控性分解变换矩阵Pc为:32211001012110rankranknABB1011010100,001010101ccPP于是可得原系统的能控性分解为由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1,因此不能控子系统是稳定的,系统是可镇定的。1110010121,0100100cccAPAPBPB112100101210100100xxuxx2)对能控部分进行极点配置由上可知,系统的能控部分为设A*为具有期望特征值的闭环系统矩阵且,本例中设期望的闭环极点取为-3和-2。因此有1111010(,),1201AB1111*~~~KBAA22211211222112111111*21110012101~~~kkkkkkkkKBAA显然,当反馈阵为此时,闭环系统矩阵A*为1~K4104~222112111kkkkK2003*A3)求取原系统的状态反馈镇定矩阵经检验,经状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。4100401011000100410040~11cPKK301130200BKA5.3.2输出反馈镇定线性定常连续系统输出反馈镇定问题可以描述为:对于给定的线性定常连续系统Σ(A,B,C),找到一个输出反馈控制律:u=-Hy+v式中,H为输出反馈矩阵,v为参考输入。引入输出反馈矩阵H后,闭环系统状态方程为:对是否可经输出反馈进行系统镇定问题,有如下定理。()xABHCxBv定理5-5系统Σ(A,B,C)通过输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中的能控且能观部分是能输出反馈极点配置的,其余部分是渐近稳定的。111213141222423334442400000000000AAAABAABABAAACCC由于输出反馈可以视为状态反馈K=HC的一种特例,且原系统Σ(A,B,C)与结构分解后的系统在能观性和能控性上等价。对系统引入输出反馈矩阵,可得闭环系统的系统矩阵(,,)ABC(,,)ABCH111213141222422433344411121213141422222424333444000000000000000000AAAABAABABHCHCCAAAAABHCAABHCABHCABHCAAA相应的闭环系统特征多项式为:由能控能观性分解知,当且仅当的特征值均具有负实部时,闭环系统才能获得渐近稳定。因此,系统Σ(A,B,C)通过输出反馈能镇定的充要条件是Σ结构分解中的能控且能观部分是能输出反馈极点配置的,其余部分是渐近稳定的。由定理可知,能输出反馈镇定,一定可以状态反馈镇定。但反之则不尽然,能状态反馈能镇定的,并不一定能输出反馈镇定。1122223344|()||||()|||||sIABHCsIAsIABHCsIAsIA1122223344()AABHCAA、、、2222(,,)ABC例考虑线性定常系统Σ(A,B,C),其中分析通过输出反馈的系统可镇定性。解由系统的能控能观判据知,该系统是能控且能观的。因此,系统通过输出反馈能镇定的条件是整个系统都应是能镇定的。首先求系统的特征多项式为:由劳斯判据,开环系统不稳定。005201011200101301ABC，，32()||35fssIAsss设输出反馈矩阵为H=[h1h2]T,则闭环系统的系统矩阵为:相应的闭环系统特征多项式为:由劳斯判据,可以得出特征方程根均具有负实部(能够镇定)的h1及h2取值范围为:11122200520005210112001102101301013hhhhhhABHC322121()|()|(3)(12)(25)HfssIshshhshABHC12,3,2/52121hhhh在本例中,若取h1=-3,h2=-2,则闭环系统特征多项式化为:其特征根为s1=-0.57,s2=-0.22+1.3j。因此,原系统经过输出反馈H=[-3-2]T能够镇定。12)(23ssssfH注意：利用输出反馈未必能使能控且能观的系统得到镇定。