微分中值定理的证明

2014届本科毕业论文（设计）题目：微分中值定理的证明及其应学院：数学科学学院专业班级：数学09-3班学生姓名：迪丽尼格尔.艾来提指导教师：依力夏提答辩日期：2014年月日新疆师范大学教务处新疆师范大学数学科学学院2013届数学与应用数学专业毕业论文1目录1引言..................................................21.1最大最小定理................................错误!未定义书签。1.2介值性定理...................................错误!未定义书签。1.3根的存在性定理...............................错误!未定义书签。1.4一致连续性定理...............................错误!未定义书签。1.5费马定理....................................错误!未定义书签。1.6有界性定理...................................错误!未定义书签。2微分中值定理错误!未定义书签。2.1罗尔中值定理................................错误!未定义书签。2.2拉格朗日中值定理.............................错误!未定义书签。2.3柯西中值定理.................................错误!未定义书签。3微分中值定理的证明..........................................................................................错误!未定义书签。3.1罗尔中值定理的证明..........................错误!未定义书签。3.2拉格朗日中值定理的证明.......................错误!未定义书签。3.3柯西中值定理的证明..........................错误!未定义书签。4微分中值定理的证明的几何解释........................................错误!未定义书签。4.1罗尔中值定理的几何解释................................................................................................4.2拉格朗日中值定理的几何解释................................................错误!未定义书签。4.3柯西中值定理的几何解释.......................错误!未定义书签。5微分中值定理之间的关系及其深层简述......................................错误!未定义书签。6微分中值定理的应用.................................................错误!未定义书签。7总结..............................新疆师范大学数学科学学院2013届数学与应用数学专业毕业论文2微分中值定理的证明及其应用摘要：微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它是微分学的理论核心。本文主要介绍微分中值定理在等式的证明，不等式的证明，方程根的存在性及其求近似值等中的应用。关键词：辅助函数；等式证明；不等式证明；方程根存在性；近似值；1.引言微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中有重要的地位，在微积分教学与研究中具有承前局后的作用，是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具。本文是以罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个定理为研究对象，主要介绍微分中值定理的若干推广和应用。1.1预备知识最大最小定理（定理4.6）若函数)(xf在闭区间ba,上连续，则)(xf在ba,上有最大与最小值。介值性定理（定理4.7）设函数)(xf在闭区间ba,上连续，且)()(bfaf。若μ为介于)(af与)(bf之间的任何实数〔)(af＜＜)(bf或)(af＞＞)(bf〕，则至少存在一点bax,0,使得)(0xf。根的存在定理若函数)(xf在闭区间ba,上连续，且)(af与)(bf异新疆师范大学数学科学学院2013届数学与应用数学专业毕业论文3点（既)(af,)(bf＜0）,则至少存在一点bax,0，使得0)(0xf，既方程)(xf=0在ba,内至少有一个跟。一致连续性定理（定理4.9）若函数)(xf在闭区间ba,上连续，则)(xf在ba,上一致连续。费马定理（定理5.3）设函数)(xf在点0x的某领域内有定义，且在点0x可导，若点0x为的极值点，则必有0)(0xf。有界性定理若函数)(xf在闭区间ba,上连续,则)(xf在ba,上有界，既存在常数M＞0，使得任意的bax,有︱)(xf︳M。⒉微分中值定理2.1罗日（Rolle）中值定理若函数)(xf满足如下条件：（ⅰ）)(xf在闭区间ba,上连续。（ⅱ）)(xf在开区间ba,内可导。（ⅲ）)()(bfaf,则在ba,内至少存在一点，使得0)(f2.2拉格朗日（Lagrange）中值定理若函数)(xf满足如下条件：（ⅰ）)(xf在闭区间ba,上连续。（ⅱ）)(xf在开区间ba,内可导,则在ba,内至少存在一点，使得)(f=babfaf)()(注：拉格朗日中值定理的结论称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式。可根据不同问题的特点，在不同场合灵活选用：①abfafbf)()()(ba,②ababafafbf)()(0＜＜1新疆师范大学数学科学学院2013届数学与应用数学专业毕业论文4③hhafafbaf)()()(0＜＜12.3柯西（Cauchy）中值定理设函数)(xf和)(xg满足：（ⅰ）在ba,上都连续。（ⅱ）在ba,内都可导。（ⅲ）)(xf和)(xg不同时为零。（ⅳ）)()(bgag，则存在ba,使得)()()()()()(agbgafbfgf。3.微分中值定理的证明3.1罗日（Rolle）中值定理的证明证法一：根据条件在闭区间ba,上连续和闭区间上连续函数的最大最小值定理，若函数)(xf在闭区间上连续，则函数)(xf在闭区间ba,上能取到最小值m和最大值M.既在区间ba,上存在两点1x和2x，使mxf)(1,Mxf)(2,且对任意bax,有Mxfm)(。下面分两种情况讨论：⑴如果Mm，则)(xf在ba,上是常数，所以对xba,有f0)(x，既ba,内任意一点都可以作为，使0)(f⑵如果m＜M，由条件)()(bfaf有)(xf在ba,上两个端点a与b的函数值)(af与)(bf不能同时一个取最大值一个取最小值，既在开区间ba,内必定至少存在一点，函数)(xf在点取最大值或最小值，所以)(xf在点必取局部极值，由费马定理，有f()=0证法二：分三种情况讨论⑴kxf)(,（k是常数）图3.1.2（a）中f0)(x,ba,中任何一点都满足定理的要求。⑵图3.1.2（b）,(c)中,对于ba,中某些x，有)(xf＞)(af。根据最新疆师范大学数学科学学院2013届数学与应用数学专业毕业论文5大最小值定理，)(xf在区间ba,中有最大值。因为)()(bfaf，所以函数)(xf一定是在区间ba,中某一点c达到最大值。因此)(xf在点c有极大值。由)(xf在点c可微的，根据费马定理可知0)(cf⑶图3.1.2(c),(d)中,对于ba,中某些x,有)(xf＜)(af。根据最大最小值定理，)(xf在区间ba,中有最小值。因为)()(bfaf，所以函数)(xf一定是在区间ba,中某一点c达到最小值。因此)(xf在点c有极大值。由)(xf在点c可微的，根据费马定理可知0)(cf。3.2拉格朗日（Lagrange）中值定理的证明证法一：构造函数构造辅助函数kxxfxF)()(.其中kbabfaf)()(.根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道)(xF在闭区间ba,上是连续的，在开区间ba,内是可导的，并且还有)()(bFaF，所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数)(xF在开区间ba,内至少存在一点，使得0)()(kfFkf)(babfaf)()(.证法二：行列式法构造辅助函数)(xF=111)()()(xbaxfbfaf，则)(xF=babfaf)()(-xaxfaf)()(+xbxfbf)()(=)()()()()()()()()()()(bafabfbfafxxfbaxbfbxfxafaxfbafabf由此可得)(xF在闭区间ba,上连续。新疆师范大学数学科学学院2013届数学与应用数学专业毕业论文6)(xF111)()()(xbaxfbfaf+111)()()(xbaxfbfaf+111)()()(xbaxfbfaf=111)()()(xbaxfbfaf=1)()(bxfbf-1)()(axfaf=)()()()(xfaafxfbbf=)()()(bfafxfba。由此可得)(xF在开区间ba,内可导。又由)(aF=0111)()()(abaafbfaf，)(bF=111)()()(bbabfbfaf=0可得0)()(bFaF.综上所述，可知)(xF满足罗尔中值定理的条件，则至少存在一点ba,使得0)()()()(bfaffbaf故)(Fbabfaf)()(证法三：积分法把需证之式变式()()(fabafbf0)对应改写成()()(fabafbf0)x(把换成x)证明上述方程在ba,内存在根，将上式左边对x积分，有[)()()(xfabafbf]dx=cxfabxafbf)()()(故取)(xF)()()(xfabxafbf，则)(xF在ba,上连续，在ba,内可导且)()(bFaF=)()(abfbaf。由罗尔中值定理知，至少存在一点（a＜＜b）使0)(xF既()()(fabafbf)=0新疆师范大学数学科学学院2013届数学与应用数学专业毕业论文73.3柯西（Cauchy）中值定理的证明证法一：构造函数构造辅助函数)()()(xkgxfxL其中k)()()()(agbgafbf根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道)(xL在闭区间ba,上是连续的，在开区间ba,内是可导的，并且还有)()(bLaL，所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数)(xL在开区间ba,内至少存在一点，使得0)()()(gkfLk)()(gf故证得)()()()()()(agbgafbfxgxf证法二：行列式法构造辅助函数)(xG111)()()()()()(xgbgagxfbfaf，则)(xF=)()()()(bgagbfaf-)()()()(xgagxfaf+)()()()(xfbgxfbf=)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(bfagafbgbfafxgxfbgagxfbgbfxgxfagafxgbfagafbg由此可得在闭区间ba,上连