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成都七中授课人:曹杨可课件制作:曹杨可9.5空间向量及其运算(9)1.上节课我们学习了空间两个向量的夹角、向量的模、两个向量的数量积以及有关的性质、运算律,请问什么叫做两个向量的夹角呢?两个向量的夹角的取值范围是什么?已知两个非零向量a与b,在空间中任取一点O,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作<a,b>.规定:<a,b>.2.什么叫做两个向量互相垂直呢?两个向量互相垂直的充要条件是什么?3.什么叫做两个向量的数量积?已知空间两个向量a与b,|a||b|cos<a、b>叫做向量a、b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.说明:在两个向量的数量积的定义中,涉及了两个向量的数量积、向量的模、两个向量的夹角的余弦.因此,在几何问题中,常通过两个向量的数量积以及向量的其它运算来解决几何问题,这也正是我们今天要研究的问题.用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是:⑴如何把已知的几何条件(如线段、角度等)转化为向量表示;⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式;⑶如何对已经表示出来的向量进行运算,才能获得需要的结论?利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢?⑴利用定义a·b=|a||b|cos<a,b>或cos<a,b>=,可以解决两个向量的数量积或夹角问题;baba⑵利用性质a⊥ba·b=0可以解决线段或直线的垂直问题;⑶利用性质a·a=|a|2,可以解决线段的长或两点间的距离问题.1.分析:0017.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,F是CC1的中点,O为下底面的中心,求证:A1O⊥平面BDF。(13分)BDAOAO,则连结证明:AABCDAA于面在正方体中1.1上的射影在面是ACOAAO)(11BDOA,,,连接中点取OGGDGDC1CCDBCDCDDA于面,于面由正方体知11111.//BCOG则.1CDOG面上的射影在面是111CDOAGD的中点、分别是、中,在正方形111CCCDFGCCDDGDDF1)(21DFOA.211DBFOADBDDF面及)(、)(综上DAA1BCD1B1C1OFGMN)'(21BCCC解:'21BC'CDCDCC''·CDMN)'(21BCCC)'(CDCC4.OO归纳小结:选定空间同起点且不公面的三个向量作为一个基底,并用它表示指定的向量,是用向量知识解决立体几何问题的基本要领.解题中要结合已知和未知去观察图形、联想有关的运算法则和公式等,就近表示所需的向量,再对照目标将不符合要求的向量加以调整,如此反复,直至所有向量符合目标要求.作业:《中学第二教材》P26~28
本文标题:9.5 空间向量及其运算(6)
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