[原创]2013年《随堂优化训练》数学第二十六章二次函数y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c

第2课时二次函数y＝a(x－h)2＋k，y＝ax2＋bx＋c的图象1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象(1)探究：二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，①若h＝0，k＝0，则y＝a(x－h)2＋k变形为________，其图象为________，对称轴为______，顶点坐标为__________．②若h＝0，k≠0，则y＝a(x－h)2＋k变形为_________，其图象为________，对称轴为______，顶点坐标为__________．③若h≠0，k＝0,则y＝a(x－h)2＋k变形为__________，其图象为________，对称轴为__________，顶点坐标为__________．y＝a(x－h)2抛物线直线x＝h(h,0)y＝ax2y＝ax2＋k抛物线抛物线y轴y轴(0，k)(0,0)a的符号开口方向对称轴顶点坐标有最高或最低点a0a0归纳：(1)抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状______，位置______．相同不同(2)把抛物线y＝ax2向左或向右平移|h|个单位，再向上或向下平移|k|个单位，即可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k.(3)抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点：向上向下x＝h(h，k)有最低点有最高点2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象y＝a(x－h)2＋k(1)求其顶点与对称轴的常用方法：__________.(2)通过变形可将其转化为_________________的形式．(3)对称轴是____________，顶点坐标是_______________．配方直线x＝－b2a－b2a，4ac－b24a3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的增减性探究：二次函数y＝a(x－h)2＋k，上减小增大(1)当a0时，图象开口向____，当xh时，y随x的增大而______；当xh时，y随x的增大而________．下增大(2)当a0时，图象开口向____，当xh时，y随x的增大而______；当xh时，y随x的增大而________．减小归纳：二次函数y＝ax2＋bx＋c，(1)a0,当x______时，y随x的增大而______；当x______时，y随x的增大而________．减小增大(2)a0,当x______时，y随x的增大而______；当x______时，y随x的增大而________．增大减小－b2a－b2a－b2a－b2a二次函数图象的平移(重难点)例1：(1)抛物线y＝2x2通过怎样的平移可以得到抛物线y＝2x2＋1，又通过怎样的平移可以得到抛物线y＝2(x－1)2＋1；(2)抛物线y＝－x2通过怎样的平移可以得到抛物线y＝－x2－2，又通过怎样的平移可以得到抛物线y＝－(x＋2)2－2.思路点拨：通过画函数草图判断平移的方向及距离．自主解答：(1)抛物线y＝2x2通过向上平移1个单位得到抛物线y＝2x2＋1，又通过向右平移1个单位得到抛物线y＝2(x－1)2＋1.(2)抛物线y＝－x2通过向下平移2个单位得到抛物线y＝－x2－2，又通过向左平移2个单位得到抛物线y＝－(x＋2)2－2.移方法如下：当h0时，向右平移|h|个单位；当h0时，向左平移|h|个单位．当k0时，向上平移|k|个单位；当k0时，向下平移|k|个单位．规律总结：由抛物线y＝ax2得到抛物线y＝a(x－h)2＋k的平跟踪训练(－5,0)x＝－5－50单位，则平移以后的二次函数的解析式为()AA．y＝x2－1C．y＝(x－1)2B．y＝x2＋1D．y＝(x＋1)22．(2012年广东广州)将二次函数y＝x2的图象向下平移一个1．抛物线y＝12(x＋5)2的顶点坐标是________，对称轴是________，当x＝________时，y最小值＝________.配方法在二次函数中的应用(重点)例2：将下列函数化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并指出其对称轴与顶点坐标：(1)y＝x2＋2x＋2；(2)y＝－2x2－8x；(3)y＝13x2－2x＋2.自主解答：(1)y＝x2＋2x＋2＝(x2＋2x＋1)＋1＝(x＋1)2＋1.∴对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1,1)．(2)y＝－2x2－8x＝－2(x2＋4x)＝－2(x2＋4x＋4－4)＝－2(x＋2)2＋8.∴对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为(－2,8)．(3)y＝13x2－2x＋2＝13(x2－6x＋6)＝13(x2－6x＋9＋6－9)＝13(x－3)2－1.∴对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3，－1)．规律总结：本题也可直接套用公式，即二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－b2a，顶点坐标为－b2a，4ac－b24a.跟踪训练3．用配方法将二次函数y＝－12x2－x＋32化为y＝a(x－h)2＋k的形式为__________________；它的开口向________；对称轴是直线____________；顶点坐标是____________．y＝－12(x＋1)2＋2向下x＝－1(－1,2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质(重难点)(1)写出抛物线开口方向，顶点坐标，对称轴，最值；(2)求抛物线与y轴、x轴的交点坐标；(3)作出函数的草图；(4)观察图象，当x为何值时，y随x的增大而减小；当x为何值时，y随x的增大而增大；(5)观察图象，当x为何值时，y0；当x何值时，y＝0；当x为何值时，y0.例3：已知y＝12x2＋2x＋1.自主解答：(1)将y＝12x2＋2x＋1配方，得y＝12(x＋2)2－1.∴抛物线的开口向上，顶点坐标为(－2，－1)，对称轴是x＝－2；∵a＝120，图象有最低点；∴当x＝－2时，y最小值＝－1.(3)草图如图D52.图D52(2)令x＝0，则y＝1；∴抛物线与y轴交于点(0,1)，令y＝0，则12x2＋2x＋1＝0.解得x1＝－2－2，x2＝－2＋2.∴抛物线与x轴交于点(－2－2，0)或点(－2＋2，0)．(4)由图象可知：当x≤－2时，y随x增大而减小；当x≥－2时，y随x增大而增大．(5)由图象可知：当x－2－2或x－2＋2时，y0；当x＝－2－2或x＝－2＋2时，y＝0；当－2－2x－2＋2时，y0.规律总结：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以看作是由抛物线y＝ax2向左或向右平移b2a个单位，再向上或向下平移4ac－b24a个单位得到的．(2)当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点．跟踪训练4．通过配方确定y＝－2x2＋4x＋6的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出其增减性．解：y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x－1)2＋8.∴抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为(1,8)．当x1时，y随x的增大而增大；当x1时，y随x的增大而减小．