三角函数线课件

初中锐角三角函数是如何定义的？OMPαsinα=OPMPcosα=OPOMtanα=OMMP当OP=1时，sinα=MPcosα=OM┍复习引入设P（x,y)是α终边上任一点,线段0P的长度为r复习：任意角三角函数的定义①比值叫做的正弦，记作，即．rysinrysin②比值叫做的余弦，记作，即．rxcosrxcos③比值叫做的正切，记作，即．xytanxytanxOP(x,y)y.角α的终边1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角α的三角函数是怎样定义的？sinycosxtan(0)yxx2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.公式，，().其数学意义如何？sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ终边相同的角的同名三角函数值相等.4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何意义，就能实现数与形的完美统一.可以用何种几何元素表示任意角三角函数值？新课讲授一、单位圆：1、定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆。oyxPMNα2、单位圆与x轴的交点：单位圆与y轴的交点：（1，0）和（-1，0）（0，1）和（0，-1）3、正射影：过P作PM垂直X轴于点M，PN垂直Y轴于点N，则点M、N分别是点P在X轴、Y轴上的正射影AT正弦线和余弦线问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则，都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？sinycosxP（x，y）OxyM||sinMPy||cosOMx问题2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则，都是负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？sinycosx||sinMPy||cosOMxP（x，y）OxyM正弦线和余弦线为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.根据实际需要，我们规定线段从始点到终点与坐标轴同向时为正方向，反向时为负方向.规定了始点和终点，带有方向的线段，叫做有向线段.由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即MP=sinα，OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？P（x，y）OxyMP（x，y）OxyM思考：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦线的含义如何？POxyMOxyPP思考：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sinα＋cosα1吗？POxyMMP＋OMOP=1正切线AT问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是正数，用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？tanyxPOxyMtanyATxAT问题2：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？tanyxPOxyMtanyATx正切线ATATPOxyM思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是负数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？tanyxtanyATxtanyx思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则是正数，此时用哪条有向线段表示角α的正切值最合适？POxyMATATtanyATx思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tanα.ATOxyPATOxyP思考：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的含义如何？OxyPP当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点；当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.思考：观察下列不等式：你有什么一般猜想？sintan666pppsintan444pppsintan333ppp思考：对于不等式（其中α为锐角），你能用数形结合思想证明吗？sintanaaaPOxyMAT例练讲解例1、分别作出2π/3和-3π/4的正弦线、余弦线和正切线yOX解：在直角坐标系中做单位圆P2T2M2N2P1以OX轴为始边作2π/3的终边与单位圆交于P1点作P1M1⊥OX轴，垂足为M1，由单位圆与OX正方向的交点A作OX轴的垂线与OP的反向延长线交于T1点T1M1N1AY’则Sin(2π/3)=M1P1=ON1,Cos(2π/3)=OM1,Tan(2π/3)=AT1例2设α是任意角，作α的正弦线、余弦线、正切线，由图证明下列各等式:（1）sin²α＋cos²α＝1；AoyαPMTxN证明：（1）若角α终边落在象限内，由图可知sin²α＋cos²α=ON²+OM²=PM²+OM²=OP²=1若角α的终边落在轴上则|sinα|和|cosα|必有一个为1，另一个为0，sin²α＋cos²α＝1象限角轴角AoyαPMTxN证明：tanα=MP/OM=sinα/cosα（2）tanα=sinα/cosα；（α是锐角）（3）|sinα|+|cosα|≥1证明：若角α终边落在象限内，由图可知，∆OPM中|MP|+|OM|〉|OP|=1(三角形两边之和大于第三边）若角α终边落在轴上，|MP|和|OM|必有一个为1，另一个为0|MP|+|OM|=1而|MP|=|ON|=|sinα|，|OM|=|cosα|故|sinα|+|cosα|≥1象限角（2）象限角（3）轴角（3）返回目录例3在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sinα≥;(2)cosα≤-.【分析】作出满足sinα=,cosα=-的角的终边,然后根据已知条件确定角α终边的范围.23212321【解析】(1)如图,作直线y=交单位圆于A,B两点,连结OA,OB,则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为返回目录23Zk,2ka2k|a323返回目录(2)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连结OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为21Zk,2ka2k|a3432【评析】本题的实质是解三角不等式的问题：（1）可以运用单位圆及三角函数线;（2）也可以用三角函数图象.体现了数形结合的数学思想方法.例3在0～内，求使成立的α的取值范围.23sin2aOxy2(,)33ppaÎPMP1P232y=例4求函数的定义域.()2cos1faa=-OxyP2MP112x=[2,2]()33kkkZppapp?++?P1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.5.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.课堂小结2、用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要准确3.三角函数线凡含有原点的线段，均以原点为起点不含原点的线段，均以此线段与坐标轴的公共点为起点4、α终边落在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点，α终边落在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.