数学物理方法知识点精华总结

第一章复数和复变函数1.5连续若函数)(xf在0z的邻域内（包括0z本身）已经单值确定，并且)()(0lim0zfzfzz，则称f(z)在0z点连续。1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件(i)xu、yu、xv、yv在点不仅存在而且连续。(ii)C-R条件在该点成立。C-R条件为yyxuxyxvyyxvxyxu),(),(),(),(1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的邻域内点点是可导的，则称该点是解析的。解析的必要条件：函数f(z)=u+iv在点z的邻域内(i)xu、yu、xv、yv存在。(ii)C-R条件在该点成立。解析的充分条件：函数f(z)=u+iv在邻域内(i)xu、yu、xv、yv不仅存在而且连续。(ii)C-R条件在该点成立。1.8解析函数和调和函数的关系拉普拉斯方程的解都是调和函数：22xu+22yu=0①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C—R条件。②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C—R条件列微分方程第二章复变函数的积分2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A与B的那些曲线来讲，积分BAdzzf)(的值均相等。柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D内解析，则它沿D内任一围线的积分都等于零。Cdzzf0)(二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。n+1连区域柯西定理：niiiedzzfdzzfdzzfdzzf)(....)()()(21推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。2.3柯西公式若f(z)在单连有界区域D内解析，在闭区域D的边界连续，则对于区域D的任何一个内点a，有dzazzfiaf)(21)(其中是境界线。2.5柯西导数公式dzfinzfCnn1)()()(2!)(第三章级数3.2复变函数项级数外尔斯特拉斯定理：如果级数0)(kkzu在境界上一致收敛，那么(i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z)(ii)由它们的m阶导数组成的级数0)()(kmkzu在区域内也收敛，而且它们的和等于F(m)(z)。3.3幂级数阿贝尔(Abel)定理：如果幂级数0)(kkkazc在点z0处收敛，则在任一圆|z-a|=p|z0-a|，0p1内，幂级数一致收敛，并且绝对收敛。达朗贝尔(D’Alembert)判别法:对于幂级数，计算下列极限|)(||)(|lim11kkkkkazcazc(i)当极限值小于1时，幂级数在点z处绝对收敛(ii)当极限值大于1时，幂级数在点z处发散(iii)当极限值等于1时，敛散性不能判断。柯西判别法：计算极限kkkkazc|)(|lim当极限值小于1时，幂级数在点z处绝对收敛;而当极限值大于1时，幂级数在点z处发散；极限值等于1时，不能判断3.4解析函数与幂级数定理：幂级数的和是收敛圆内的解析函数。Taylor级数：0)()(!)()(nnnaznafzf...!...!212nzzzenz...)!12((-1)...!5!3sin12n53nzzzzzn...)!2(...!4!21cos242nzzzzn...1(-1)...32)1ln(1n32nzzzzzn3.5解析函数与双边幂级数定理：双边幂级数的和是环形区域内的解析函数。环形区域内的解析函数可展成双边幂级数kkkazczf)()(dafick)()(21称为Laurant系数3.8孤立奇点非孤立奇点：若函数f(z)在z=a点的无论多么小的邻域内，总有除z=a以外的奇点，则z=a是f(z)的非孤立奇点。孤立奇点：若函数在z=a不可导(或无定义)，而在去心邻域0|z-a|ε解析，则z=a是f(z)的一个孤立奇点。3.9奇点分类有限远奇点极限性质洛朗级数可去奇点limf(z)=有限值不含负幂项极点limf(z)=∞含有限个负幂项本性奇点limf(z)=无定值含无限个负幂项无穷远点极限性质洛朗级数可去奇点limf(z)=有限值不含正幂项极点limf(z)=∞含有限个正幂项本性奇点limf(z)=无定值含无限个正幂项第四章留数4.1柯西公式的另一种形式一阶极点留数：若g(z)在单连区域D内解析，a在D内，在D内作一环绕点a的围线C。令f(z)=g(z)/(z-a)则有：Casfidzzf)(Re2)()()(lim)(Rezfazasfaz一阶极点留数的一种算法:如果)()()(zzzf那么)()()(Resaaafm阶极点的留数公式|)]()[()!1(1)(Re11azmmmzfazdzdmasf4.2用级数分析来分析留数定理kkkazczf)()(则有Res1)(caf多连区域的柯西定理:如果在围线C的内部包含n个孤立奇点，利用多连区域的柯西定理就有nkkCasfidzzf1)(Re2)(4.3无限远点的留数1)(21)(Recdzzfisf定理1：如果当z→∞时，若zf(z)→0,则Resf(∞)=0定理2：0)(Re)Resf(a1ksfnk4.4留数定理计算型积分第一种类型：20)sin,(cosdR型积分令iezizdzd/)(21cos1zz)(21sin1zz1||20)()sin,(coszdzzfdR｛在单位圆内各个奇点的留数之和｝第二种类型：dxxf)(型积分注意，需要满足条件0)(limzzzfidxxf2)(｛在上半平面的奇点留数之和｝（界限上的乘以0.5）第三种类型：dxexfimx)(型积分注意需要符合条件0)(limzzfi2)(dxexfimx｛f(z)eimz在上半平面的奇点留数之和｝4.7围线积分方法泊松积分：abaxeabxdxe4/02221cos菲涅尔积分：221sincos0202dxxdxx第六章积分变换6.1傅里叶级数三角函数系的正交性2π周期-展开定理：10)sincos()(mmmmxDmxCCxfdfC)(210dmfCmcos)(1dmfDmsin)(1任意周期2l-展开定理：10)sincos()(mmmxlmDxlmCCxflldflC)(210llmdlmflCcos)(1llmdlmflDsin)(16.2傅立叶积分0]sin)(cos)([)(dkkxkDkxkCxfdkfkDdkfkCsin)(1)(cos)(1)(C(k)是偶函数，D(k)是奇函数傅里叶公式令)]()([21)(~kiDkCkf则dkekfxfikx)(~)(defkfik)(21)(~)](~[)()]([)(~1kfFxfxfFkf6.3傅立叶变换线性定理][][][22112211fFCfFCfCfCF导数定理)]([)]([xfikFxfF)]([)(])([xfFikdxxfdFnnn积分定理)]([1])([0xfFikdfFxx延迟定理)]([)]([00xfFexxfFikx相似定理)(~1)]([akfaaxfF卷积定理)(~)(~2])()([2121kfkfdxffF6.4拉普拉斯变幻dtetppt0)()(注意当t0时，)(t=0)(p=L[)(t])(t=L-1[)(p])(t←→)(p线性性质：)(~)(~)()(2121pbpatbta导数的象函数：)0()()(ppdttd)0(...)0()0()()(1-n21nnnnnppppdttd积分的象函数ppdttt)()(01!nnpnt象函数的位移定理：)()(apteat由此可得22)(cosapapteat22)(sinapteat22)(apaptcheat22)(aptsheat（用来求逆变换）延迟函数的象函数)()()(ptHt)()()(petHtp卷积定理)]([)]([])()([21021tLtLdtLt象函数的导数nnndppdtt)()()(积分公式：00)()(dtttdpp第八章数学物理方程的导出22222),(),(xtxuattxu弦的横振动方程u=弦的横向位移a2=FT/ρFT=张力ρ=单位长度弦的质量弦的纵振动方程u=弦的纵向位移a2=E/ρE=杨氏模量ρ=单位长度弦的质量),(),(22truattru扩散方程u=离子浓度，a2=DD=扩散系数热传导方程u=温度，a2=k/ρck=导热系数，ρ=质量密度c=比热容),(),(2222truattru波动方程u=E或B的任一分量002/1a0=真空电容率0=真空导磁系数E电场强度B磁场强度拉普拉斯方程0),(2tru稳恒状态扩散方程u=粒子浓度稳恒状态传导方程u=温度静电场方程u=静电势线性算符与解的叠加初始条件扩散方程热传导方程（已知函数）0|),(ttru波动方程)(|),(0已知函数ttru（已知函数）0|tt),ru(t边界条件已知函数][unu第九章本征函数法弦振动方程的第一类边值问题定解问题22222),(),(xtxuattxu0),(),0()(|),(|00tlutuxuxuttt分离变量)()(),(tTxXtxu解本证方程0)()0(0)()(lXXxXxX本征值2)(lnn本征函数xlnxXxXnsin)()(解非本征方程0)()(2tTatTn的通解为tlanDtlanCtTtTnnnsincos)()(定解问题的解11sin)sincos()()(),(nnnnnnxlntlanDtlanCxXtTtxu由初始条件和傅里叶级数确定系数1sin)()0,(nnxlnCxxu10sin)(|nnttxlnlanDxudlnlCln0sin)(2lndlnanD0sin)(2热传导方程第二类边值问题定解问题222),(),(xtxuattxu)()0,(0|,0|0xxuuulxxxx分离变量)()(),(tTxXtxu解本证方程0)()0(0)()(lXXxXxX本征值2)(lnn本征函数xlnxXxXncos)()(解非本征方程0)()(2tTatTn的通解为])([2)()(tlannneCtTtT定解问题的解1])([0cos),(2ntlannxlneCCtxu由初始条件和傅里叶级数确定系数10cos),(nnxlnCCtxu