1.1.2 余弦定理

1．1．2余弦定理一、复习提问1、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.RCcBbAa2sinsinsin（1）已知两角和任意一边，求其它边和角（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角2、正弦定理可解决哪两类与三角形有关的问题(AAS,ASA)(SSA)已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。如果角C是90°，那么可以用勾股定理求边c的长.如果角C不是直角，是否可以构造直角三角形再来求边c的长。探究：我们从量化的角度来研究这个问题，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？即在△ABC中，已知边a和b，以及角C，求边c.因此，不论∠C是锐角还是钝角，都有AD=bsinC，BD=a－bcosC。在Rt△ADB中，运用勾股定理，得c2=AD2+BD2=b2sin2C+(a－bcosC)2=a2+b2－2abcosC.同理可得b2=a2+c2－2accosB.a2=b2+c2－2bccosA.abcDCBA三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC余弦定理：用向量来研究这个问题.设，，，那么，CAbCBaABccabCBA2cccabab2aabbab222abab从而2222coscababC2222cosabcbcA2222cosbacacBabc余弦定理变式bcacbA2cos222cabacB2cos222abcbaC2cos222解决问题①已知三边求角（SSS）②已知两边夹角求第三边（SAS）例1.如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，∠C=120°，求c.解：由余弦定理，得2222cos120cabab因此22154254()612c120abcCBA例2.如图，在△ABC中，已知a=3，b=2，c=，求此三角形各个角的余弦值及其面积。19a=3b=2c=19DCBA222cos2abcCab解：由余弦定理得因此∠C=120°，2232191=2322191942cos381972cos222222acbcaBbcacbAa=3b=2c=19DCBA23321360sinADBCSbADBacAbcCabSsin21sin21sin21三角形面积公式例3.如图△ABC的顶点为A(6，5)，B(－2，8)和C(4，1)，求∠A的余弦值.解：根据两点间距离公式，得73852622AB85184222BC52154622AC在△ABC中，由余弦定理得22365365365BCABBCACABA2cos222另法:向量法作业：cAbabCBaSbCAcaBAbbBAcABC求边，已知求已知和求已知求已知；求已知中在,3036,6)5(,105,45,6)4(,30,45,10)3(,120,30,122,60,45,3100000作业：bCABcacbaScabAcba以及边和求角）（求最小角的正弦值；）（；求最大角和求）（角形：中，根据下列条件解三在,15,22,24,4:3:2::3,61,4,5)2(;,13,2,21ABC0