高等数学梯度计算

第七节方向导数与梯度一、方向导数二、梯度一、问题的提出一块长方形的金属板，受热产生如图温度分布场.设一个小虫在板中逃生至某问该虫应沿什么方向爬行，才能最快到达凉快的地点？处，问题的实质：应沿由热变冷变化最剧烈的方向爬行．需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率，从而确定出温度下降的最快方向引入两个概念：方向导数和梯度方向导数问题梯度问题讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．),(yxfz二、方向导数oyxl(,)(,)()zfxyPxyUPPl设函数在点的某一邻域内有定义，自点引射线．,(,)().xlPxxyylPUP设轴正向到射线的转角为并设为上的另一点且PPxy||PP,)()(22yx),,(),(yxfyyxxfz且当沿着趋于时，PPl),(),(lim0yxfyyxxf,z考虑是否存在？oyxlPPxy.),(),(lim0yxfyyxxflf(,)(,)fxxyyfxy定义函数的增量记为oyxlPP如果此比的极限存在，则称这极限为函数在点22()()PPxy与两点间的距离之比值，Pl沿方向的方向导数．PlP当沿着趋于时，.),(),(lim0yxfyyxxflf沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是yxff,.(1,0)i.yf的方向导数为0(,)(,)limffxxyyfxylx0xfxf}1,0{2e同理,沿y轴正向的方向导数分别为xx此时x在点沿着轴正向x若偏导存在,则),(yxfPxf.若方向导数存在，则偏导数未必存在220,0zxyOli例如，在处沿方向的001fl，方向导数，0,0.zx而偏导数不存在)0,0(),(lim0)0,0(fyxflz1)()()()(lim22220yxyx.偏导数存在沿任意方向的方向导数存在方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限.原因：证明由于函数可微，则增量可表示为)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf方向导数的存在及计算公式那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，),(yxfz),(yxP定理如果函数在点可微分，且有sincosyfxflf为x轴到方向l的转角．其中计算公式)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf故有方向导数),(),(lim0yxfyyxxf.sincosyfxflf)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf两边同除以,得到xylcossin故x轴到方向l的转角例1求函数yxez2在点)0,1(P处沿从点)0,1(P到点)1,2(Q的方向的方向导数.解;1)0,1(2)0,1(yexz,22)0,1(2)0,1(yxeyz)4sin(2)4cos(lz.22}1,1{PQ方向l即为4所求方向导数解sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyx（1）最大值;（2）最小值；（3）等于零？22),(yxyxyxf例2求函数l在点(1,1)沿与x轴方向夹角为的方向射线的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有sincos),4sin(2故（1）当4时，（2）当45时，（3）当43和47时，sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf方向导数达到最大值2;方向导数达到最小值2;方向导数等于0.,),,(),,(lim0zyxfzzyyxxflf推广:三元函数方向导数的定义),,(zyxfu),,(zyxP对于三元函数它在空间一点沿着方向l的方向导数，可定义为其中222)()()(zyx）同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在，且有.coscoscoszfyfxflf设方向l的方向角为,,,cosx,cosy,cosz方向导数的计算公式xyzlo解令,632),,(222zyxzyxF,44PPxxF,66PPyyF,22PPzzF故(,,)xyznFFF(4,6,2),,142264222n方向余弦为2122)86(1yxzu求函数n在此处沿方向的方向导数.是曲面n632222zyx)1,1,1(P例3设在点处的指向外侧的法向量,,142cos,143cos.141cos,142cos,143cos.141cos221,1,1668PPuxxzxy;146221,1,1868PPuyyzxy;148222(1,1,1)68PPxyuzz.14PPzuyuxunu)coscoscos(.711故定义设函数),(yxfz在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP),(，都可定出一个向量jyfixf，这向量称为函数),(yxfz在点),(yxP的梯度，记为),(yxgradfjyfixf.三、梯度:问题?P函数在点沿哪一方向增加的速度最快sincosyfxflf(,)(cos,sin)ffxyeyxgradf),(,cos|),(|yxgradfjiesincos设是方向l上的单位向量，当时，1)),,(cos(eyxgradflf有最大值.其中)),((,eyxgradf由方向导数公式知结论gradfgradfP22|(,)|ffgradfxyxy当xf不为零时，xfyftanx轴到梯度的转角的正切为函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为l在几何上表示一个曲面),(yxfz曲面被平面所截,得曲线cz,),(czyxfz它在xoy面上投影方程：oyx2(,)fxyc1),(cyxf(,)fxyc等高线(,)fxyc称为等值线.等值线几何上，称为等高线.sinzxy函数图形及其等高线图形．例如,(,)fxyc等值线上任一点处的一个法向量为),(yxffnfgrad表明：梯度方向与等值线的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等值线指向较高的等梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数.0nnfgradffnoyx2(,)fxyc1(,)fxycPn(,)fxyc21ccc=grad(,)fxy值线，问题：上山时，如何选择最快的方向？计算方法课程中的一种计算策略：“瞎子下山法”三元函数),,(zyxfu在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP),,(，都可定义一个向量(梯度).),,(kzfjyfixfzyxgradf类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数解由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu),,(,6)24()32(kzjyix故.1225)2,1,1(kjigradugrad(23)(42)60,fxiyjzk令则在)0,21,23(0P处梯度为.0yxzyxu2332222)2,1,1(例4求函数在点处的梯度，并问在何处梯度为零？一、方向导数（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）小结.),(),(lim0yxfyyxxflf1.定义2.计算公式sincosyfxflf.coscoscoszfyfxflf二、梯度（注意梯度是一个向量）grad(,)fxyjyfixf定义22|),(|yfxfyxgradfxfyftan方向：x轴到梯度的转角的正切模：三、方向导数与梯度的关系方向与取得最大方向导数的方向一致,模为方向导数的最大值.梯度：sincosyfxflf,cos|),(|yxgradf其中,((,))gradfxyl(,).fxy某点梯度的方向就是函数在这点增长最快的方向思考题问函数在某点处沿什么方向的方向导数最大？2(1,1,2).uxyzP求函数在点处方向导数的最大值答：梯度方向答：21grad222Pzyxffff作业P.51习题8-71;4;7;8;10.一、填空题:1、函数22yxz在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(的方向的方向导数为_____________.2、设xyzyxzyxf22232),,(zyx623,则)0,0,0(gradf__________________.3、已知场,),,(222222czbyaxzyxu沿则u场的梯度方向的方向导数是__________________.4、称向量场a为有势场,是指向量a与某个函数),,(zyxu的梯度有关系__________________.练习题三、设vu,都是zyx,,的函数,vu,的各偏导数都存在且连续,证明:ugradvvgraduuvgrad)(四、求222222czbyaxu在点),,(000zyxM处沿点的向径0r的方向导数,问cba,,具有什么关系时此方向导数等于梯度的模?二、求函数)(12222byaxz在点)2,2(ba处沿曲线12222byax在这点的内法线方向的方向导数.一、1、321；2、kji623；3、graduczbyax222222)2()2()2(；4、gradua.二、)(2122baab.四、cbazyxzyxuruM;),,(22020200000.练习题答案