高中数学 导数及其应用1.6微积分基本定理学案新人教A版

1专题课件§1.6微积分基本定理学习目标1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点一微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则ʃ10(2x＋1)dx与F(1)－F(0)有什么关系？答案由定积分的几何意义知，ʃ10(2x＋1)dx＝12×(1＋3)×1＝2，F(1)－F(0)＝2，故ʃ10(2x＋1)dx＝F(1)－F(0)．梳理(1)微积分基本定理①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)；②结论：ʃbaf(x)dx＝F(b)－F(a)；③符号表示：ʃbaf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．(2)常见的原函数与被积函数关系①ʃbacdx＝cx|ba(c为常数)．②ʃbaxndx＝1n＋1xn＋1ba(n≠－1)．③ʃbasinxdx＝－cosx|ba.④ʃbacosxdx＝sinx|ba.⑤ʃba1xdx＝lnx|ba(ba0)．⑥ʃbaexdx＝ex|ba.⑦ʃbaaxdx＝axlnaba(a0且a≠1)．⑧ʃbaxdx＝2332xba(ba0)．知识点二定积分和曲边梯形面积的关系思考定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答案当被积函数f(x)≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)≥02不恒成立，则不相等．梳理设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则ʃbaf(x)dx＝S上．(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则ʃbaf(x)dx＝－S下．(3)当曲边梯形在x轴上方，x轴下方均存在时，如图③，则ʃbaf(x)dx＝S上－S下．特别地，若S上＝S下，则ʃbaf(x)dx＝0.1．若F′(x)＝f(x)，则F(x)唯一．(×)2．微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．(√)3．应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．(√)类型一求定积分命题角度1求简单函数的定积分例1计算下列定积分．(1)ʃ10(2x＋ex)dx；(2)ʃ211x－3cosxdx；(3)π220(sincos)d;22xxx(4)ʃ30(x－3)(x－4)dx.考点利用微积分基本定理求定积分题点利用微积分基本定理求定积分解(1)ʃ10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.(2)ʃ211x－3cosxdx＝(lnx－3sinx)|21＝(ln2－3sin2)－(ln1－3sin1)＝ln2－3sin2＋3sin1.3(3)∵sinx2－cosx22＝1－2sinx2cosx2＝1－sinx，∴ππ22200(sincos)d(1-sin)d22xxxxxπ20(cos)|xx＋＝π2＋cosπ2－(0＋cos0)＝π2－1.(4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，∴ʃ30(x－3)(x－4)dx＝ʃ30(x2－7x＋12)dx＝13x3－72x2＋12x30＝13×33－72×32＋12×3－0＝272.反思与感悟(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F(x)．(2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；第二步：计算函数的增量F(b)－F(a)．跟踪训练1计算下列定积分．(1)ʃ21x－x2＋1xdx；(2)π2220(cossin)d22xxx；(3)ʃ94x(1＋x)dx.考点利用微积分基本定理求定积分题点利用微积分基本定理求定积分解(1)ʃ21x－x2＋1xdx＝12x2－13x3＋lnx21＝12×22－13×23＋ln2－12－13＋ln14＝ln2－56.(2)π2220(cossin)d22xxxπ20cosdxx＝sinxπ20|＝1.(3)ʃ94x(1＋x)dx＝ʃ94(x＋x)dx＝2332x＋12x294＝23×329＋12×92－23×324＋12×42＝2716.命题角度2求分段函数的定积分例2(1)若f(x)＝x2，x≤0，cosx－1，x0，求π21()d;fxx(2)计算定积分ʃ21|3－2x|dx.考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分解(1)π21()dfxx＝ʃ0－1x2dx＋π20(cos1)d,xx又因为13x3′＝x2，(sinx－x)′＝cosx－1，所以原式＝13x30－1＋(sinx－x)π20|＝0＋13＋sinπ2－π2－(sin0－0)＝43－π2.(2)ʃ21|3－2x|dx322312(32)d(23)dxxxx＝(3x－x2)321|＋(x2－3x)232|＝12.5反思与感悟分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．跟踪训练2(1)ʃ1－1e|x|dx＝________.考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分答案2e－2解析ʃ1－1e|x|dx＝ʃ0－1e－xdx＋ʃ10exdx＝－e－x|0－1＋ex|10＝－e0＋e1＋e1－e0＝2e－2.(2)已知f(x)＝2x＋ex，0≤x≤1，x－1x，1x≤2，求ʃ20f(x)dx.考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分解ʃ20f(x)dx＝ʃ10(2x＋ex)dx＋ʃ21x－1xdx＝(x2＋ex)|10＋12x2－lnx21＝(1＋e)－(0＋e0)＋12×22－ln2－12×1－ln1＝e＋32－ln2.类型二利用定积分求参数例3(1)已知t0，f(x)＝2x－1，若ʃt0f(x)dx＝6，则t＝________.(2)已知2≤ʃ21(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．考点微积分基本定理的应用题点利用微积分基本定理求参数答案(1)3(2)23，2解析(1)ʃt0f(x)dx＝ʃt0(2x－1)dx＝t2－t＝6，解得t＝3或－2，∵t0，∴t＝3.6(2)ʃ21(kx＋1)dx＝12kx2＋x21＝32k＋1.由2≤32k＋1≤4，得23≤k≤2.引申探究1．若将例3(1)中的条件改为ʃt0f(x)dx＝ft2，求t.解由ʃt0f(x)dx＝ʃt0(2x－1)dx＝t2－t，又ft2＝t－1，∴t2－t＝t－1，得t＝1.2．若将例3(1)中的条件改为ʃt0f(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值．解F(t)＝ʃt0f(x)dx＝t2－t＝t－122－14(t0)，当t＝12时，F(t)min＝－14.反思与感悟(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．跟踪训练3(1)已知x∈(0,1]，f(x)＝ʃ10(1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是________．(2)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)．若ʃ10f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．考点微积分基本定理的应用题点利用微积分基本定理求参数答案(1)[0,2)(2)33解析(1)f(x)＝ʃ10(1－2x＋2t)dt＝(t－2xt＋t2)|10＝－2x＋2(x∈(0,1])．∴f(x)的值域为[0,2)．(2)∵ʃ10f(x)dx＝ʃ10(ax2＋c)dx＝13ax3＋cx10＝a3＋c.又f(x0)＝ax20＋c，∴a3＝ax20，即x0＝33或－33.∵0≤x0≤1，∴x0＝33.71．若ʃa12x＋1xdx＝3＋ln2，则a的值是()A．5B．4C．3D．2考点微积分基本定理的应用题点利用微积分基本定理求参数答案D解析ʃa12x＋1xdx＝ʃa12xdx＋ʃa11xdx＝x2|a1＋lnx|a1＝a2－1＋lna＝3＋ln2，解得a＝2.2．π230(12sin)d2等于()A．－32B．－12C.12D.32考点利用微积分基本定理求定积分题点利用微积分基本定理求定积分答案D解析π230(12sin)d2π30=cosd＝sinθπ30|＝32.3．设f(x)＝x2，0≤x≤1，2－x，1x≤2，则ʃ20f(x)dx等于()A.34B.45C.56D．不存在考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分答案C解析ʃ20f(x)dx＝ʃ10x2dx＋ʃ21(2－x)dx＝13x310＋2x－12x221＝56.4．已知函数f(x)＝xn＋mx的导函数f′(x)＝2x＋2，则ʃ31f(－x)dx＝________.8考点微积分基本定理的应用题点微积分基本定理的综合应用答案23解析∵f(x)＝xn＋mx的导函数f′(x)＝2x＋2，∴nxn－1＋m＝2x＋2，解得n＝2，m＝2，∴f(x)＝x2＋2x，则f(－x)＝x2－2x，∴ʃ31f(－x)dx＝ʃ31(x2－2x)dx＝13x3－x231＝9－9－13＋1＝23.5．已知f(x)＝4x－2π，0≤x≤π2，cosx，π2x≤π，计算：ʃπ0f(x)dx.解ʃπ0f(x)dxππ2π02()d()dfxxfxxππ2π02=(4-2π)dcosd,xxxx取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；取F2(x)＝sinx，则F2′(x)＝cosx.所以ππ2π02(4-2π)dcosdxxxx＝(2x2－2πx)π20|＋sinxππ2|＝－12π2－1，即ʃπ0f(x)dx＝－12π2－1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积9分的相反数.一、选择题1．ʃ21ex＋1xdx等于()A．e2－ln2B．e2－e－ln2C．e2＋e＋ln2D．e2－e＋ln2考点利用微积分基本定理求定积分题点利用微积分基本定理求定积分答案D解析ʃ21ex＋1x＝(ex＋lnx)|21＝(e2＋ln2)－(e＋ln1)＝e2－e＋ln2.2．若π20(sincos)dxaxx＝2，则实数a等于()A．－1B．1C．－3D.3考点微积分基本定理的应用题点利用微积分基本定理求参数答案A解析π20(sincos)dxaxx＝(－cosx－asinx)π20|＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2，∴a＝－1，故选A.3．若S1＝ʃ21x2dx，S2＝ʃ211xdx，S3＝ʃ21exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1S2S3B．S2S1S3C．S2S3S1D．S3S2S1考点利用微积分基本定理求定积分题点利用微积分基本定理求定积分答案B10解析因为S1＝ʃ21x2dx＝13x321＝13×23－13＝73，S2＝ʃ211xdx＝lnx|21＝ln2，S3＝ʃ21exdx＝ex|21＝e2－e＝e(e－1)．又ln2ln