线性代数-课程学习必备的教材

线性代数专题课一、重点和难点1.行列式的性质及其计算2.矩阵的运算、可逆矩阵、分块矩阵、初等变换与初等矩阵、矩阵的秩、方阵的特征值与特征向量、矩阵相似对角化3.n维向量的线性运算、向量组的线性相关性、向量组的极大线性无关组4.齐次、非齐次线性方程组解的结构5.用正交变换化二次型为标准型二、行列式1n阶行列式的定义npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD21212222111211212111212121nntppnppppDaaa或其中为排列的逆序数.t12nppp2n阶行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.即.TDD性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式为零.性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.kk推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则这个行列式等于两个行列式之和.性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．3行列式按行和列展开余子式与代数余子式ija记作.划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，在阶行列式中，把元素所在的第行和第列nij1nijaijM1ijijijAM，叫做元素的代数余子式．ija记关于代数余子式的重要性质1,,0,;nkikjijkDijaADij当当1,,0,;nikjkijkDijaADij当当1,0,.ijijij，当当4Cramer法则在线性方程组中若常数项不全为零，则称此方程组为非齐次线性方程组；12,,,nbbb若常数项全为零，则称此方程组为齐次线性方程组.12,,,nbbb如果线性方程组的系数行列式则线性方程组一定有解,且解是唯一的.,0D如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.5行列式的求法1）、定义法121121000000000nnnaaaabbb2）、展开法0000000000000000xyxyxxyyx3）、加边法2112122122212111nnnnnxxxxxxxxxxxxxxx4）、拆分法111212122212nnnnnnababababababababab5）、递推法950000495000049000000950000495000049n6）、三角法120111100100100naaa7）、Laplace展开定理11121314152122232425313241425152000000000aaaaaaaaaaaaaaaa9）、综合法133332333333333n8）、Vandermonde行列式1111111111222222111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaababbaababbDaababb10）、降阶法（略）,2122221112111aaaaaaaaaDnnnnnn,221122222111112112abababaabababaaDnnnnnnnnnn11）、定义证明证明12DD12）、数学归纳法cos100012cos100012cos00cos.000100012cosnDn三、矩阵1、矩阵的定义定义()ijmnAa）排成的行列的矩形数表，称为数域mn由数域中的个数（nmijaF1,2,,;im1,2,,jn记作：mnA()ija中的一个矩阵.mnF注：实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、ｎ阶方阵、方阵的行列式、两矩阵同型、两矩阵相等.2、几种特殊的矩阵零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、负矩阵、对合矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、阶梯形、行最简形矩阵、标准形3、矩阵的运算1）、加法注意:只有同型矩阵才能进行加法运算.()ijijmnABab(),()ijmnijmnAaBb，若规定2）、数乘(),,ijmnAaR()ijmnAAa若规定3）、乘法(),ijmnABCc()(),ijmnssijAaBb，若规定11221ijijijissjikkjcababababｓｋ＝其中1212imjn（，，，；，，，）4）、幂kkAAAA(),,ijnnAakZ规定若注：1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵.2、ｋ只能是正整数.把矩阵Ａ的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做Ａ的转置矩阵，记作...AorA5）、转置设Ａ为ｎ阶方阵，若，即，TAAijjiaa那么Ａ称为对称矩阵.TAAijjiaa设Ａ为ｎ阶方阵，若，即，那么Ａ称为反对称矩阵.行列式的各个元素的代数余子式所构成矩阵的转置.AijA７）、伴随矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA记作８)、共轭矩阵当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记，称为的共轭矩阵.ijaAijaijaijaAAA6）、方阵的行列式行列式（各元素的位置不变）叫做方阵Ａ的行列式.记作..etAorDA由ｎ阶方阵Ａ的元素所构成的4、逆矩阵的概念和性质,ABBAE使得的逆矩阵记作1.AA1)、定义对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵，nABnA则称矩阵是可逆的，BA并把矩阵称为的逆矩阵.定理1若矩阵可逆，则0.AA定理2矩阵可逆的充要条件是，且A0A11,AAAAA其中为矩阵的伴随矩阵.2)、性质5、矩阵的分块及运算规则对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.分块对角矩阵1,2,iAis都是方阵.12,sAAAA12;sAAAA1）1111;sAAA2）3）若则有11,,ssABABAB11;ssABABAB若，则有0iA分块对角矩阵的性质：4）若1,sAAA1111;sAAA则1,2,iAis均为可逆方阵.5）若1,sAAA1;nnnsAAA则6、矩阵的初等变换（ElementaryTransformation）1）、定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换.jirr（1）互换两行：（2）数乘某行：kri（3）倍加某行：jikrr同理，把换成可定义矩阵的初等列变换.rcERTECT定义矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换．ET定义经过有限次初等变换变成矩阵，如果矩阵ABAB与等价就称矩阵，记作~AB等价关系的性质：反身性、对称性、传递性.2）、初等矩阵的概念,ETEP一次相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵.定义就称为初等矩阵.P１、对调(,)Eij101101２、数乘1111kEik(）３、倍加1111k,()Eijk7、矩阵的秩,mninAif定义0;rD10.rD（1）（2）则称为矩阵的最高阶非零子式.rDA)(Ar)(AR记为或.最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，~.ifABRARB定理，则称定义An阶方阵，0()ifARAn,mninAA为满秩阵.定义()ifRAmA，则称为行满秩阵；()ifRAnA，则称为列满秩阵；0()ifARAnA，则称为降秩阵.定义所有与Ａ等价的矩阵的集合称为一个等价类.8、初等矩阵的应用AEERT1EAAE1EAECT1）、求逆ABERTEXABEXECT2）、求方程XAB1XBAAXB1XAB矩阵方程解BAX1BAX1BCAX11BAXBXACAXB9、方阵的特征值与特征向量定义Ａ为ｎ阶方阵，λ为数，为ｎ维非零向量，A若则λ称为Ａ的特征值，称为Ａ的特征向量．（１）注②并不一定唯一；,③ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组①特征向量，特征值问题只针对于方阵；00EAx有非零解的λ值，即满足的λ都是方阵Ａ的特征值．0EA定义0EA称以λ为未知数的一元ｎ次方程为Ａ的特征方程．fEA定义称以λ为变量的一元ｎ次多项式为Ａ的特征多项式．121122(2);nnnaaa12(1);nA定理设ｎ阶方阵的特征值为ijAa12,,,n则Ａ的特征值与特征向量的求法(1)由特征方程0EA求出矩阵Ａ的全部特征值1,2,…,n，其中r重根对应Ａ的r个数值相同的特征根。(2)把特征值代入(I-Ａ)X=0，求其特征向量。10、矩阵相似对角化1）定义设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ，使得1,PAPB则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵Ａ与Ｂ相似．称为对Ａ进行相似变换，1,PAP对Ａ进行运算可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．记作：Ａ∽Ｂ．2）矩阵相似对角化若能寻得相似变换矩阵Ｐ使1PAP对ｎ阶方阵Ａ，称之为把方阵Ａ对角化．Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值；12,,,nppp是Ａ的ｎ个线性无关的特征向量。四、ｎ维向量空间１）、定义ｎ个数组成的有序数组12,,,naaa12naaa称为一个ｎ维向量，其中称为第个分量（坐标）.iai.,TT记作ｎ维向量写成一行称为行向量，记作.,ｎ维向量写成一列称为列向量，２）、几种特殊向量实向量，复向量，零向量，单位向量，向量同型，向量相等.注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二者必须分清.３）、矩阵与向量的关系１、ｎ维向量若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．５）、向量组,;ifVVV６）、向量空间设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足①对加法封闭②对数乘封闭那么就称集合Ｖ为向量空间.,.ifVRV４）、向量的运算向量的运算采用与矩阵相同的运算规律.2、向量的线性相关性1）、基本概念12:,,,rA定义Ⅰ给定向量组，对于任何一组数12,rkkk，，，称向量1122rrkkk为向量组的一个线性组合（LinearCombination）.12,rkkk，，为组合的组合系数(CombinationCoefficient).12:,,,rA定义Ⅱ设向量组及向量β有关系1122rrkkk则β称为向量组的一个线性组合，或称β可由向量组Ａ线性表示（LinearExpression）.12,rkkk，，称为β在该线性组合下的组合系数.定义Ⅲ设两向量组1212:,,,:,,,.rsAB，若向量组Ａ中每一个向量皆可由向量组Ｂ线性表示，则称向量组Ａ可以由向量组Ｂ线性表示.若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价.向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.12:,,,rA定义Ⅳ设ｎ维向量组为零的数12,rkkk，，，使得1122rrkkk0,则称向量组，如果存在不全12:,,,rA线性相关(LinearDependent).反之，若当且仅当120rkkk==，才有1122rrkkk0,则称向量组12:,,,rA线性无关(LinearIndependent).即存在矩阵,