高三数学一轮复习精品导学案：第五章 数 列(5.1等差数列与等比数列)

状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。2011年高三数学一轮复习精品导学案：第五章数列【知识特点】（1）数列是高中数学的主要内容之一是高考的常考内容；（2）数列具有函数特征，又能构成独特的递推关系，故使得数列与函数、方程、不等式等知识有较密切的联系，因此高考命题时常将数列与函数、不等式、向量等交汇，考查学生的逻辑思维能力、运算推理能力，呈现出综合性强、立意新的特点；（3）数列、等差与等比数列的概念和性质、通项公式、前n项和公式等知识，突出了“小、巧、活”的特点，也提供了知三求二的理论依据；（4）数列的规律性较强，学习时一定要从其规律入手来计算、分析、解决有关问题。【重点关注】（1）要正确理解数列、等差、等比数列的基本概念，掌握各公式之间的联系和内在规律，掌握公式的灵活运用，甚至要灵活地回归定义，巧用性质，使运算更简捷；（2）要善于运用函数与方程、化归与转化、分类讨论等思想方法去分析问题、解决问题；（3）本章另一重点是由递推公式得出数列，以及数列的前n项和Sn与通项na之间的关系。体现了由特殊到一般的思维规律；（4）与数列有关的应用题也是高考考查的重点，特别是数列建模问题；（5）数列证明问题与数学归纳法的联系。【地位和作用】数列是函数大家庭中的一员，其特殊性在于其定义域是正整数，它是按一定次序排列的一列数，数列在中学数学中既具有相对的独立性，又具有较强的综合性，它是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，因此历年的高考中占有较大的比重，在选择、填空题中，突出“小、巧、活”的特点。递推思想可以极大地激活人们探索与发现真理的能力，由给出的前若干项及an与an+1的关系式得到的数列叫递推数列，该关系式叫递推公式。高考命题中数列善于占有重要一席，而运用递推式是解题的起点。对于本章而言，从新课改近几年各省份的高考信息可以看出，高考命题呈现出以下几个特点：1、考查题型较为全面。选择、填空、解答均有所考查，一般一小一大，分值占10%，状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。其中解答题难度较大；2、重点考查等差数列、等比数列的定义，通项公式和前n项和公式，注重在知识的交汇处命题，如数列与函数、方程、不等式等知识的综合应用。注意对观察、转化与化归能力及数学归纳法的考查；3、预计今后高考仍将以等差数列、等比数列的定义，通项公式和前n项和公式为考点，同时与其他章节结合命题将是数列解答题的命题方向。第一节等差数列与等比数列【高考目标定位】一、数列的概念与简单表示法1、考纲点击（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。2、热点提示（1）已知数列的通项公式或递推关系，求数列的各项；（2）以数列的前几项为背景，考查“归纳——推理”思想。二、等差数列及其前n项和1、考纲点击（1）理解等差数列的概念；（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；（4）了解等差数列与一次函数的关系。2、热点提示（1）以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查“方程思想”；（2）以选择题、填空题的形式考查等差数列的性质；（3）数列与函数交汇是解答题综合考查的热点。三、等比数列及其前n项和1、考纲点击（1）理解等比数列的概念；（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；（3）能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；（4）了解等比数列与指数函数的关系。2、热点提示（1）以定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定；（2）以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查等差数列、等比数列的综合应用；3、以选择、填空的形式考查等比数列的性质。【考纲知识梳理】一、数列的概念与简单表示法1、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。2、数列的分类分类原则类型满足条件状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列1nnaa其中nN递减数列1nnaa常数列1nnaa按其他标准分类有界数列存在正数M，使naM摆动数列na的符号正负相间，如1，-1，1，-1，……3、数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法。注：数列可以看作一个函数，其定义域是正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，……，n}）,可表示为()nafn。4、数列的通项公式如果数列{na}的第n项na与序号n之间的关系可以用一个公式()nafn来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。注：数列的通项公式不唯一，如数列-1，1，-1，1，……通项公式可以为(1)nna或1()1()nnan为奇数为偶数，有的数列没有通项公式。二、等差数列及其前n项和1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示，其符号语言为：1(2,)nnaadnd为常数2、等差数列的通项公式若等差数列{na}的首项为1a，公差是d,则其通项公式为1(1)naand。注：已知等差数列{na}的第m项为ma，公差为d，则其第n项na可以表示为：()nmaanmd。3、等差中项状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。如果三个数a,A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且有2abA。4、等差数列的前n项和公式11()(1).22nnnaannSnad三、等比数列及其前n项和等比数列的相关概念相关名词等比数列{na}的有关概念及公式定义11(0,)0,nnnnaaqqqnNqqqnNaa是常数且或（是常数且n2）通项公式11nnaaq前n项和公式111(1))(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq等比中项设a、b为任意两个同号的实数，则a、b的等比中项为：Gab注：2bac是a,b,c成等比的必要不充分条件，∵当b=0,a,c至少有一个为零时，2bac成立，但a,b,c不成等比，反之，若a,b,c成等比，则必有2bac【热点难点精析】一、数列的概念与简单表示法（一）由数列的前几项求数列的通项公式※相关链接※数列的通项公式（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想。（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。一般的思想，由不完全归纳提出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或1(1)n来调整。（3）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决。※例题解析※〖例〗写出下列各数列的一个通项公式：1371531(1)4,6,8,10,(2),,,,,2481632210172637(3),1,,,,,3791113(4)3,33,333,3333,思路解析：由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一。解答：（1）各项是从4开始的偶数，所以22nan；（2）每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，……，故所求数列的一个通项公式可定为212nnna；（3）带有正负号，故每项中必须含有一个1(1)n这个因式，而后去掉负号，观察可得。将第二项-1写成55。分母可化为3，5，7，9，11，13，……为正奇数，而分子可化为12+1，22+1，32+1，42+1，52+1，62+1，……故其一个通项公式可写为：211(1)21nnnan；（4）将数列各项写为9999999999,,,,3333分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104-1，……，所以1(101)3nna（二）由递推公式求数列通项公式※相关链接※1、由1a和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用化归法、累加法、累乘法等。（1）构造等比数列，已知首项1a，递推关系为1()nnaqabnN，求数列na的状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。通项公式的关键是将1nnaqab转化为1()nnaaqaa的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即1(1)(1).1nnnbqabaqaqaaqq（2）已知1a且1()(2),nnaafnn可以用累加法，即1(),nnaafn，12(1)nnaafn，……，32(3)aaf，21(2)aaf。所有等式左右两边分别相加，得1123221()()()()()(1)(3)(2),nnnnaaaaaaaafnfnff即：1(2)(3)(1)().naafffnfn（3）已知1a且1()(2),nnafnna可以用累乘法，即1()nnafna，12(1)nnafna，……，32(3)afa，21(2)afa，所有等式左右两边分别相乘，得13212211(2)(3)(1)(),(2)(3)(1)().nnnnnaaaafffnfnaaaaaafffnfn即注：并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个。2、由na与nS的关系求na由nS求na时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为11(1)(2)nnnSnaSSn。※例题解析※〖例〗根据下列条件，确定数列na的通项公式。状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。思路解析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用na与nS的关系求解。解答：（1）（2）……累乘可得，故（3）注：已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由1a和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想na的方法，以及累加na=（na-1na）+（1na-2na）+……+（2a-1a）+1a；累乘：na=121121nnnnaaaaaaa等方法。状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水