概率统计6-2-统计推断中常用的三个分布

1一、基本概念样本是总体的代表和反映，但我们在抽取样本后，并不直接利用样本进行推断，而需要对样本进行一番“加工”和“提炼”，把样本中所包含的关于我们所关心的事物的信息集中起来，这便是针对不同的问题构造样本的某个函数，称之为统计量。严格地说，一个统计量就是样本),,,(21nXXX的一个函数，且要求它不包含总体的任何未知参数。因此，统计量也是一个随机变量。21.统计量的定义.),,,(,,,,,),,,(,,,,21212121计量是一个统则称不含未知参数中若的函数是的一个样本是来自总体设nnnnXXXggXXXXXXgXXXX.),,,(),,,(,,,,,,,21212121的观察值是则称的样本值是相应于样本设nnnnXXXgxxxgXXXxxx3?,,,,),(,,22321哪些不是些是统计量判断下列各式哪为未知为已知其中样本的一个是来自总体设NXXX,11XT,3212XeXXT),(313213XXXT),,,max(3214XXXT,2215XXT).(123222126XXXT是不是实例142.几个常用统计量的定义.,,,,,,,2121是这一样本的观察值是来自总体的一个样本设nnxxxXXX(1)样本平均值;11niiXnX(2)样本方差niiXXnS122)(11.11122niiXnXn.11niixnx其观察值5其观察值niixxns122)(11.11122niixnxn(3)样本标准差;11122niiXXnSS其观察值.)(1112niixxns6设总体X的均值和方差均存在,XE,2DX,定理1,)(EX，nX2)(D.)(E22S证nXXX,,,21相互独立,且与总体X同分布,故有,)(E)(EXXi,)(D)(D2XXini,,2,1)1(E)(E1niiXnX所以niiXn1)(E1,)1(D)(D1niiXnXniiXn12)(D1.2n对样本),,,(21nXXX及其样本均值和样本方差,X2S有7样本均值niiXnX11样本方差niiXXnS122)(11niiXnXn12211推导：niiXX12)(niiiXXXX122)2(niniiniiXXXX1211222122XnXnXXnii.212XnXnii它反映了总体均值的信息它反映了总体方差的信息8niiXnXnS1222E11)(E，niiXnXn122)(E)(E11而)(E2iX22)E()(D)(EXXX2)E()(DiiXX，22，22n)()(11)(E122222ninnnS.2,)(EX，nX2)(D.)(E22S所以9(4)样本k阶(原点)矩;,2,1,11kXnAnikik其观察值.,2,1,11kxnnikik(5)样本k阶中心矩;,3,2,)(11kXXnBnikik其观察值.,3,2,)(11kxxnbnikik10.,2,1,,,)(kAnXEkXkPkkk时则当存在记成阶矩的若总体证明,,,,21同分布独立且与因为XXXXn,,,,21同分布独立且与所以kknkkXXXX.)()()(21kknkkXEXEXE故有再根据第五章辛钦定理知由以上定义得下述结论:11由第五章关于依概率收敛的序列的性质知),,,,(),,,(2121kPkgAAAg.是连续函数其中g;,2,1,11kXnkPniki以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据.122分布1、定义设随机变量nXXX,,,21相互独立，且都222212nXXX服从自由度为n的2分布，.)(~22n服从标准正态分布)1,0(N，则称随机变量记为其密度函数为000e)2(21);(2122xxxnnxfxnn，，13000e)2(21);(2122xxxnnxfxnn，，来定义.0,de)(01xttxxt其中伽玛函数通过积分)(x142分布的性质:(1)可加性：设)(~1221n,)(~2222n,且21,22相互独立,则，)(~2122221nn可推广到多个变量；(2)若)(~22n,则n)(E2,n2)(D2.15xO)(2n设,)(~22n对于给定的,,10称满足条件)}({P22n的点)(2n为)(2n分布的上侧分位数。分布的分位数:2)(xf16xO)(xf)(2n例如，)25(205.0)20(2025.0,652.37.170.34当n充分大时，近似地有,)12(21)(22nzn其中z是)1,0(N的上分位点。例如，,645.105.0z.221.67)99645.1(21)50(205.0精确，.505.67)50(205.017xO)(xz标准正态分布的分位数:设,)1,0(~NZ对于给定的,,10称满足条件}{PzZ的点z为标准正态分布的上侧分位数。查表，，645.105.0z.96.1025.0z18t(n)的密度函数为：.)1()2(]2)1[();(212nnxnnnnxf记为T～t(n).nYXT2、t分布定义设)1,0(~NX,)(~2nY,且X与Y相互独立,则称随机变量服从自由度为n的t分布，19偶函数,关于x=0对称.当较大时,t分布接近于标准正态分布.若)(~ntT,则0)(ET,2)(DnnT)2(n..)1()2(]2)1[();(212nnxnnnnxf20t分布的分位数:xO)(nt设,)(~ntt对于给定的,,10称满足条件)}({Pntt的点)(nt为t分布的上侧分位数。查表，)25(05.0t)20(025.0t,7081.1.086.2当n充分大时，.)(znt21设),,,(621XXX是来自正态总体),0(~2NX的一个样本,求下面统计量Y的分布例1解.262422531XXXXXXY531,,XXX相互独立,且均服从),0(2N,则,)3,0(~2531NXXX,)1,0(~)(31531NXXX又262422,,XXX相互独立,且,)1(~1222kX.6,4,2k22,)1,0(~)(31531NXXX,)1(~1222kX.6,4,2k由2分布的可加性,,)3(~)(122624222XXX再由531XXX与)(262422XXX的独立性，根据t分布的定义，262422531XXXXXXY3/)(1)(312624222531XXXXXX.)3(~t23记为F～F(m,n).3、F分布定义设)(~2mX,)(~2nY,且X与Y相互独立,则称随机变量服从自由度为(m,n)的F分布，nYmXF//F(n1,n2)的概率密度为000)1())(()()()()(2222212112121212121xxxxxfnnnnnnnnnnnnn，，24性质：如果),(~21nnFX,则),(~112nnFX.000)1())(()()()()(2222212112121212121xxxxxfnnnnnnnnnnnnn，，nYmXF//25xO),(21nnF设,),(~21nnFF对于给定的,,10称满足条件)},({P21nnFF的点),(21nnF为),(21nnF分布的上侧分位数。F分布的分位数:)(xf26例如，xO),(21nnF)(xf)19,20(05.0F.16.2当靠近1时,有下列公式：),(1),(1mnFnmF例如，)24,14(95.0F)14,24(105.0F.426.035.2127设),,,(221nXXX是来自正态总体),0(~2NX的一个样本,试求下列统计量的分布:例2;)1(22242212311nnXXXXXXY.)2(22242221223212nnXXXXXXY解(1)与例1类似,.)(~1ntY(2)nXXX221,,,相互独立,且均服从),0(2N,则,)(2iXni2,,2,1相互独立,且均服从,)1(228,)(2iXni2,,2,1相互独立,且均服从,)1(2由2分布的可加性,知,)(~)()()(221223211nXXXWn,)(~)()()(22224222nXXXWn由于21,WW相互独立,由F分布的定义知,,),(~//21nnFnWnW即.),(~2nnFY22242221223212nnXXXXXXY