数学分析-第十章-课件-数项级数

第十章数项级数§1级数问题的提出一些数学问题和实际问题经常用到：无穷多个函数相加或无穷多个数相加。231nxxxx例2.sin2sin3sinsin23xxnxxn非初等函数的表示微分方程的解例3.例1.微分方程0xyyxy的解？0y和1nnnyax问题：1.无穷多项相加究竟是什么意思？加得起来吗？2.对这种无穷项相加的“无穷级数”，它的运算规律与“有限和”有什么异同？历史上：很多是“形式运算”，后来由于应用的深入和广泛，形式运算常出现矛盾：111111若把它写成(11)(11)(11)则其“和”为0，若把它写成1(11)(11)(11)则其“和”为1,“和”只能一个，矛盾。例：无穷项相加无穷项函数相加，对每一个固定的x，每一项便变成一个数，因此，我们从无穷个数相加谈起，这种级数称为数项级数，或简称为无穷级数。用加号把这些数依次连接起来所得的式子设有数列：123,,,,,nuuuu123nuuuu定义称为无穷级数或数项级数，简称级数。这仅是一种形式上的相加。§2数项级数的收敛性及其基本性质11nknkuu或记为：引入一个新的数列112223123121nnnkksusuusuuusuuuu称为级数的前n项部分和（简称部分和）nsns称为级数的部分和数列。有极限存1kku的部分和数列ns在（设为S），则称级数1kku收敛。S称为级数的和，记作：1kku此时也称级数1kku收敛到S。若部分和数列没有极限存在，则称该数列发散，此时它没有和。ns若级数定义10.1一、数项级数的收敛讨论级数11(1)nnn因为解：前n项部分和为收敛，其和为1，即所以级数的收敛性。1111223(1)1111111122311nsnnnnn1limlim(1)11nnnsn11(1)nnn111(1)nnn例1解：前n项部分和的收敛性。发散。因此，级数讨论级数11ln(1)nn111ln(1)ln1lnln1()nnnkkskkknn11ln(1)nn例2此时级数收敛，其和为（几何级数）讨论几何级数1211nnnaraararar(0)a1rn当时，级数的前项和为111nnnrsaararar1r当时，有2limlim111nnnaarasrrr1ar即11naaararr这是中学学习过的。例3例3的收敛性，其中r为公比。解：当r=-1时，当|r|1时,当r=1时，lim,,1nnnrsr由知级数发散。(),nsnan当级数发散。1234,0,,0,,sassas两个子数列的极限不相等。因此级数发散。当a≠0时，极限不存在，这是因为221lim0,limkkkkssa特别地，当a=1时级数就是1111111nn这是10.1中讨论过的级数，它发散，因此没有和。故说它的和即等于1又等于0的推理，前提是不正确的。综合起来，对几何级数得到的结论是：当|r|1时,时收敛，当|r|≥1时,发散。11nnar知这样就把e用一个无穷级数表示出来。其中0θ1，由在§8.1，我们曾得到公式111112!3!!(1)!eenn30(1)!1ennlim0(1)!nen故0111112!3!!nen例4例4收敛，c为任意常数，则级数1nnu也收敛，且1nncu11.nnnncucu若级数二、数项级数的性质定理10.1也收敛，且若级数收敛，则级数11,nnnnuv1nnnuv111nnnnnnnuvuv定理10.2定理10.3不改变级数的收敛性。任意改变级数有限项的数值，定理10.4(收敛的必要条件)若级数1nnu收敛，则一般项趋向于0，即lim0nnu发散。判断1）用其逆否命题：若说明：lim0nnu，则1nnu级数的发散性。1111,1nnnnn例：2）是必要条件，而不是充分条件：前面例子。lim0nnu3）最后：级数和数列的关系：级数其中：部分和数列1nnuns级数1nnu数列na11ua1(1)nnnuaan最简单的级数若级数的每一项都是非负的，则称此级数正项级数。为正项级数。§3正项级数定义10.2正项级数收敛的充要条件是：1nnuns证明：必要性.按定义，级数收敛，部分和数列有上界。1nnu有极限存在，因此有上界。充分性。由0nu单调上升，知部分和数列ns它有上界则必有极限存在，因此级数收敛。这是一个基本定理，后面的判别法大都由此证明。定理10.5部分和数列说明：正项级数收敛的必要条件例1:证明“p级数”11111123ppppnnn当p1时收敛，当p≤1时发散。证明：先证明p=1时级数发散。由定理10.5，只需证明的项第二项依次按部分和数列无上界。对任意正整数，都有(2)n正整数k，使122kkn11,2,4,8,,2k便得例1,这时把部分和数列项组合起来，111231nns12k111111123456781()()1111111212222()kkkk1121kn1111111122448888()()111222()kkk个k可以取任意大，因而无上界。故p=1时，级数11nn发散（级数11nn也称为调和级数）。当p1时，由于对任意正整数k，有11pkk因此当p1时，设在p1也发散。右边的部分和数列无上界推出左边也无上界，1111nnpkkkk11pnn122kkn类似于前面的做法，有故111231pppnns1111112345671()()pppppp11111(2)(21)(21)[]kpkpkp111(2)(21)kpkppn11242224(2)(2)1kkppkpkp111121111122221ppppkk1111112111221()12.1121pppkpp(这里用到数列有上界，故这就证明了部分和11211)pp当11pnn,当p1时收敛。（比较判别法）设有两个正项级数121121,,nnnnuuuvvv若对充分大的n（即存在N,当nN时）有其中c0与n无关，则1)当nnucv收敛时，发散。收敛；1nnv1nnu2)当1nnu发散时，1nnv定理10.6比较判别法证明：从n=1开始由定理10.3，不妨假定nnucv故当（n=1,2,…）因此121121,,nnknknnknkSuuuuvvvv,nnScn由定理10.5便推出定理10.6的结论。无上界时，有上界时，有上界，当nsn成立，记另证：22111(1)(1)111sin,nnnnnnnn设给定两正项级数若1.把定理10.7与p级数结合；注：则：2.定理10.7的应用：必须已知某正项级数11nnnnuv与limnnnulv1110nnnnluv（）当时，与同时收敛或同时发散；nnn=1n=1（2）当=0时，由收敛可推出收敛；lvu3luvnnn=1n=1()当=+时，由收敛可推出收敛。的收敛性。比较判别法的极限形式定理10.7通常：把判别级数和几何级数，p级数比较。241213nnnn,而的收敛性。2422131lim2nnnnn211nn是收敛的。判断级数例2例3判断级数的收敛性1sinnnsinlim1nnn，而调和级数是发散的。221111(1)(1)1111sin,,sinnnnnnnnnnn再证：设给定两正项级数若当n充分大后有11nnnnuv与11nnnnuvuv收敛；由收敛可推出则由1nnv1nnu1nnu取几何级数做标准，便得下面的判别法。发散。发散可推出1nnv比较判别法的另一种形式定理10.811111212nnnNnnNnNnnNnnNNuuuuvvvvuuuuvvvv证明：()NnnNuuvnNv的每一项都不为0，且满足设正项级数1nnu1limnnnulu收敛；则（1）当1nnu时，级数发散；1l（2）当1l时，级数1nnu（3）当1l时，需进一步判定。达朗贝尔（D`Alembert）判别法定理10.9证明要点（3）讨论使时，取（1）当1l0001rl21111nnnn与当时，有nN110nnnnurlrur（2）当1l时，取10使11rl讨论级数故收敛1100!nnn11100!100limlimlim01!1001nunnnnnununn例41!nnnn例511111!limlimlim(1)!11lim1111lim111111.nnunnnnnnnnnnunnunnnnnne讨论级数满足设正项级数1nnulim,nnxul收敛；时，级数则（1）当1l1nnu时，需进一步判别。（3）当1l（2）当发散；1l时，级数1nnu定理10.10柯西（Cauchy）判别法时，取证明:1l0102l当时nN1111222nnnnlllulur则1()2nnlu1）当讨论211nnnxx（用两边夹的极限不等式证明），则解：注意的收敛性，其中0x22lim1max(1,)nnnxx2lim1(1)max(1,)nnnxuxx.例6故当时,级数收敛，当x=1时,级数显然发散。x1时，级数则（1）当的项满足设正项级数1nnu1lim1nnnunSu1S1nnu收敛；（2）当1S时，级数1nnu发散。定理10.11拉阿比（Raabe）判别法当存在.则正项级数收敛的充分必要条件是极限连续，单调下降，在若()0fx[1,)()nufn1lim()xxftdt它在取例：用积分判别法判别p级数的收敛性：1()(0)pfxpx当易知且非负，连续递减。[1,)1()pfnn110111limlim11111xppxxpdtxptpp1p时，发散。当从而时11limlimlnxxxdtxt11pnn01p1p时，收敛。定理10.12柯西（Cauchy）积分判别法1nnu的收敛性，其中讨论解：取它在非负，单调下降，连续.31(ln)qnnn0q1(),0.(ln)qfxqxx[3,)1().(ln)qfnnn时，而当时，已知当1q1131limlim(ln)(ln3)(ln)1xqqqxxdtxtt