高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一)

三角函数的诱导公式(一)【知识梳理】1．诱导公式二(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.cos(π＋α)＝－cos_α.tan(π＋α)＝tan_α.2．诱导公式三(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.cos(－α)＝cos_α.tan(－α)＝－tan_α.3．诱导公式四(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.cos(π－α)＝－cos_α.tan(π－α)＝－tan_α.【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】求下列三角函数值：(1)sin(－1200°)；(2)tan945°；(3)cos119π6.[解](1)sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32；(2)tan945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan225°＝tan(180°＋45°)＝tan45°＝1；(3)cos119π6＝cos20π－π6＝cos－π6＝cosπ6＝32.【类题通法】利用诱导公式解决给角求值问题的步骤【对点训练】求sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°的值．解：sin585°cos1290°＋cos(－30°)sin210°＋tan135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋cos30°sin210°＋tan(180°－45°)＝sin225°cos210°＋cos30°sin210°－tan45°＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos30°·sin(180°＋30°)－tan45°＝sin45°cos30°－cos30°sin30°－tan45°＝22×32－32×12－1＝6－3－44.题型二、化简求值问题【例2】(1)化简：cos－αtan7π＋αsinπ－α＝________；(2)化简sin1440°＋α·cosα－1080°cos－180°－α·sin－α－180°.(1)[解析]cos－αtan7π＋αsinπ－α＝cosαtanπ＋αsinα＝cosα·tanαsinα＝sinαsinα＝1.[答案]1(2)[解]原式＝sin4×360°＋α·cos3×360°－αcos180°＋α·[－sin180°＋α]＝sinα·cos－α－cosα·sinα＝cosα－cosα＝－1.【类题通法】利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．【对点训练】化简：tan2π－θsin2π－θcos6π－θ－cosθsin5π＋θ.解：原式＝tan－θsin－θcos－θ－cosθsinπ＋θ＝tanθsinθcosθcosθsinθ＝tanθ.题型三、给角（或式）求值问题【例3】(1)已知sinβ＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为()A．1B．－1C.13D．－13(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值．(1)[解析]∵cos(α＋β)＝－1，∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sinβ＝－13.[答案]D(2)[解]∵cos(α－55°)＝－130，且α是第四象限角．∴α－55°是第三象限角．sin(α－55°)＝－1－cos2α－55°＝－223.∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝223.【类题通法】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【对点训练】已知sin(π＋α)＝－13，求cos(5π＋α)的值．解：由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sinα，所以sinα＝13，所以α是第一象限或第二象限角．当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝223，此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cosα＝－223.当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－223，此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cosα＝223.【练习反馈】1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P－55，255，则cos(π－θ)的值为()A．－255B．－55C.55D.255解析：选C∵r＝1，∴cosθ＝－55，∴cos(π－θ)＝－cosθ＝55.2．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是()A．－35B.35C．±35D.45解析：选Bsinα＝－45，又α是第四象限角，∴cos(α－2π)＝cosα＝1－sin2α＝35.3．设tan(5π＋α)＝m，则sinα－3π＋cosπ－αsin－α－cosπ＋α＝________.解析：∵tan(5π＋α)＝tanα＝m，∴原式＝－sinα－cosα－sinα＋cosα＝－tanα－1－tanα＋1＝－m－1－m＋1＝m＋1m－1.答案：m＋1m－14.cos－585°sin495°＋sin－570°的值是________．解析：原式＝cos360°＋225°sin360°＋135°－sin210°＋360°＝cos225°sin135°－sin210°＝cos180°＋45°sin180°－45°－sin180°＋30°＝－cos45°sin45°＋sin30°＝－2222＋12＝2－2.答案：2－25．已知cosπ6－α＝33，求cosα＋5π6的值．解：cosπ＋5π6＝－cosπ－α＋5π6＝－cosπ6－α＝－33.