东北大学数值分析 总复习+习题

总复习一、绪论1.掌握绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限及有效数字的概念。掌握误差限和有效数字之间的关系。会计算误差限和有效数字。2.了解数值计算中应注意的一些问题.一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。定义1设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也称用x近似x*时具有n位有效数字。二、解线性方程组的直接法1.了解Gauss消元法的基本思想,知道适用范围2.掌握矩阵的直接三角分解法。顺序Gauss消元法:矩阵A的各阶顺序主子式都不为零.主元Gauss消元法:矩阵A的行列式不为零.定理设n阶方阵A的各阶顺序主子式不为零,则存在唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU.会对矩阵进行Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout分解(TM)及Cholesky分解(GGT)。了解它们之间的关系。熟练掌握用三角分解法求方程组的解。了解平方根法和追赶法的思想。3.了解向量和矩阵的范数的定义,会判定范数(三要素非负性、齐次性、三角不等式);会计算几个常用的向量和矩阵的范数；了解范数的等价性和向量矩阵极限的概念。4.了解方程组的性态，会计算简单矩阵的条件数。三、解线性方程组的迭代法1.会建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。（1）迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1.（2）迭代法收敛的充分条件是迭代矩阵的范数小于1.（3）A严格对角占优,则J法,GS法,SOR法(01)收敛.（4）A对称正定,则GS法,SOR法(02)收敛.2.掌握并会应用迭代法的误差估计式。四、解非线性方程的迭代法1.了解二分法的思想,误差估计式|xk-|2-(k+1)(b-a).)0()1(*)(1xxMMxxkk2.会建立简单迭代法迭代格式；会判定迭代方法的收敛性。定理若(x)为I上的压缩映射,则对任何x0I,迭代格式xk+1=(xk)均收敛于(x)在I上的唯一不动点.推论若1.a(x)b;2.|(x)|L1,x[a,b].则xk+1=(xk),x0[a,b]都收敛于方程的唯一根.3.了解迭代法收敛阶的概念,会求迭代法收敛的阶.了解Aitken加速技巧.4.会建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的优缺点.了解Newton迭代法的变形.(1)xkp阶收敛于是指:推论若(x)在附近具有一阶连续导数,且|()|1,则对充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收敛.Cxxpkkk1lim(2)若()0,则迭代法线性收敛.)()(1kkkkxfxfxx局部平方收敛.五、矩阵特征值问题1.了解Gerschgorin圆盘定理,会估计特征值.1.了解差商的概念和性质.2.了解乘幂法、反幂法的思想及加速技巧.3.了解Jacobi方法的思想以及平面旋转矩阵的构造.六、插值与逼近Lagrange、Newton、Hermite插值多项式；基函数法及待定系数法。2.会建立插值多项式并导出插值余项.3.了解分段插值及三次样条插值的概念及构造思想。4.了解正交多项式的概念，会求简单的正交多项式。1.了解求积公式的一般形式及插值型求积公式的构造.掌握梯形公式和Simpson公式及其误差。5.掌握最小二乘法的思想，会求拟合曲线及最佳均方误差.2.掌握求积公式的代数精度的概念，会用待定系数法确定求积公式。七、数值积分)(12)()]()([2)(3fabbfafabdxxfba)(2880)()]()2(4)([6)()4(5fabbfbafafabdxxfba3.了解复化求积公式的思想和Romberg公式的构造。5.了解微分公式建立形式，会求简单的微分公式。4.了解Gauss公式的概念，会建立简单的Gauss公式。1.了解构造数值解法的基本思想及概念。八、常微分方程数值解法2.掌握差分公式局部截断误差和阶的概念，会求差分公式的局部截断误差。3.会判断单步方法的收敛性和稳定性，求稳定区间。一、填空题（每空3分,共30分)考试题解析解由于得特征值:又A-1=2.设矩阵A=,当a取______值时,A可以唯一分解为GGT,其中G为下三角矩阵.1.设矩阵A=,则(A)=_______,Cond(A)1=_______.32213221EA0742ii32,32217122371,所以‖A‖1=5,‖A-1‖1=5/7.7/2510011aaaa解令解只要取(x)=x3-a,或(x)=1-x3/a.5.设(x)=x3+x2-3,则差商[3,32,33,34]=_______.3.向量x=(x1,x2,x3)T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向量范数______,而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数_____.,02110011,011122aaaaaaaa2121a得：是不是4.求的Newton迭代格式为_______________________.3a212313323kkkkkkkxaxxxaxxx或16.设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点的三次插值基函数,则=____________.303)2)((jjjxxl(x-2)37.设S(x)=是以0,1,2为节2112102323xcxbxxxxx解(1)因为0x1时,(x)0,x2时,(x)0,所以(x)仅在(1,2)内有零点,而当1x2时,(x)0,故(x)单调.因此方程(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内.点的三次样条函数,则b=________c=_________.解由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得二、(13分)设函数(x)=x2-sinx-1(1)试证方程(x)=0有唯一正根;(2)构造一种收敛的迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,…计算精度为=10-2的近似根;(3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之.-23(2)构造迭代格式:,...2,1,0sin11kxxkk由于|(x)|=||1,故此迭代法收敛.xxsin12/cos(3)因为0/2,所以()取初值x0=1.5,计算得x1=1.41333,x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.003510-2,故可取根的近似值x2=1.40983.sin12/cos0故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1).三、(14分)设线性方程组(1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式);(2)讨论这两种迭代法的收敛性.(3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时,预估误差x*-x(10)(取三位有效数字).36225124321321321xxxxxxxxx(2)因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi法收敛,SOR法当01时收敛.解(1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxx(3)由(1)可见B=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,经计算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是x(1)-x(0)=1/2,所以有113.05.075.0175.0110)0()1()10(*xxBBxxk四、(13分)已知(0)=2,(1)=3,(2)=5,(1)=0.5,解(1)由y0=2,y1=3,y2=5,y1=0.5,得H3(x)=20(x)+31(x)+52(x)+0.51(x)令0(x)=c(x-1)2(x-2),可得0(x)=-0.5(x-1)2(x-2),于是H3(x)=-(x-1)2(x-2)-3x(x-2)+2.5x(x-1)2–0.5x(x-1)(x-2)(1)试建立一个三次插值多项式H3(x),使满足插值条件:H3(0)=2,H3(1)=3,H3(2)=5,H3(1)=0.5;(2)设y=(x)在[0,2]上四次连续可微,试确定插值余项R(x)=(x)-H3(x).令2(x)=cx(x-1)2,可得2(x)=0.5x(x-1)2;令1(x)=x(x-2)(ax+b),可得1(x)=-x(x-2),令1(x)=cx(x-1)(x-2),可得1(x)=-x(x-1)(x-2),=x3-2.5x2+2.5x+2由于,R(0)=R(1)=R(2)=R(1)=0,故可设五、(12分)试确定参数A,B,C及,使数值积分公式4=A+B+C,0=A-C,16/3=A2+C2,0=A3-C3有尽可能高的代数精度,并问代数精度是多少?它是否是Gauss公式?解令公式对(x)=1,x,x2,x3,x4都精确成立,则有R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2)构造函数(t)=(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2)于是,存在x,使(4)(x)=0,即(4)(x)-4!C(x)=0)2()1(!4)()(2)4(xxxfxRx22)()0()()(CfBfAfdxxf64/5=A4+C4,解得:A=C=10/9,B=16/9,=(12/5)1/2容易验证公式对(x)=x5仍精确成立，故其代数精度为5，是Gauss公式。六、(12分)设初值问题(1)试证单步法解(1)由于)(),(aybxayxfy021411323221,...2,1,0)3(),(,),(ynKKyyhKyhxfKyxfKhnnnnnn是二阶方法.(2)以此法求解y=-10y,y(0)=1时,取步长h=0.25,所得数值解yn是否稳定?为什么?于是有而),(132322hKyhxfKnn222222232222331484[]()2999nnnnnnnnnfffhhfxyfffhhfhfOhxxyy)(]2[61)(214222222321hOfyffyxfxfhfyfxfhhfyynnnnnnnnnnn)()(61][21)()(61)(21)()()(4324321hOxyhfyfxfhhfyhOxyhxyhxyhxyxynnnnnnnnnnn所以有当h=0.25时,有)()(311hOyxynn)]320(3010[41nnnnnhyyyhyy所以此单步方法为二阶方法.(2)此单步方法用于方程y=-10y,则有nyhh]50101[21625.1125.35.21501012hh所以,所得数值解是不稳定的.七、(6分)设n阶矩阵A=(aij)nn,试证实数ijnjian,1maxA为矩阵A的一种范数.证明对任意n阶方阵A,B和常数,有所以,实数‖A‖是矩阵A的范数.。时且仅当0,0