第二章 线面平行与垂直判定证明 习题

线面平行与垂直的判定证明习题第二章线面平行的判定．定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．线面平行的性质．定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。(2)直线与平面垂直的判定：常用方法有：①判定定理:.②b⊥α,a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理）③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，aβa⊥α（面面垂直性质定理）•(3)直线与平面垂直的性质定理：•如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（a⊥α，b⊥α⇒a∥b）•直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线()•(4)点到平面的距离的定义:从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。baba,•5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；•三垂线逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。•注意：①两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立。三垂线定理及其逆定理共涉及“四线一面”。其中平面的垂线、平面的斜线及射影这三条直线都是平面内的一条直线的垂线。•②利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线”、“平面的斜线”、“斜线的射影”。•③从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直证明异面直线垂直，逆定理相反。•④主要应用：可证两异面直线垂直；确定点到直线的垂线等；可确定二面角的平面角。•线线垂直线面垂直线线垂直•点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不可确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。•1.在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的各面的对角线的条数是。•2.如图，ABCD为正方形，SA垂直ABCD所在的平面，过A且垂直SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G。求证：DACBSEFG•3.如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC和△PBC是边长为的等边三角形，AB＝2，O是AB中点．•(1)在棱PA上求一点M，使得OM∥平面PBC；•(2)求证：平面PAB⊥平面ABC.•4、如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，•AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点•求证：（1）直线EF‖平面PCD；•（2）平面BEF⊥平面PAD(16)第题图•5.如图，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=√2的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD•（I）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；•（II）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；•（III）求直线AB与平面PCD的距离．•6.如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点•（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；•（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M11111ABCDABCD•7.S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BC.SACB•8.如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.••9.如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，BC＝CD＝AB＝2，G为线段AB的中点，将△ADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，得到几何体A－BCDG.•(1)若E，F分别为线段AC，AD的中点，求证：EF∥平面ABG；•(2)求证：AG⊥平面BCDG；(3)求VC－ABD的值．•10.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.•求证:VC⊥AB;小结•线面平行、垂直的判定与性质，一直是高考重点考查的对象，其解题方法一般有两种以上，并且都能用空间向量求解．在空间元素位置关系的判断与证明中，通常利用线线、线面、面面的平行（垂直）的性质或判定定理，将线线、线面、面面的平行（垂直）相互转换．１．线面平行、垂直的判定与性质的重点熟练掌握两类相互转化关系，平行转化：线线平行?圯线面平行，线面平行?圯线线平行；垂直转化：线线垂直?圯线面垂直，线面垂直?圯线线垂直．２．线面平行、垂直的判定与性质的难点①直线与平面平行、垂直的判定与性质定理的交替使用．②空间向量的引入，利用向量解题的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标，将几何问题转化为代数问题．•高考重在考查数学中普遍运用的常规方法，侧重通性通法，适当淡化技巧；不要为解题而解题，要学会举一反三；由一题带动多题，要从不同角度思考问题，当不满足已有的解法时，从其他角度考虑，这种做法对解决难题尤其有好处．解题时，弄清各概念之间的包含关系，理清定理的来龙去脉，从条件、结论和使用范围上去比较容易混淆的各个定理，从内涵和外延上比较容易混淆的各个概念，注重化归、转化思想，掌握常见的化归转化方法，如：立几问题向平面问题转化，符号语言、文字语言、图形语言的相互转化等；注重模型化方法和整体考虑问题、处理问题的方法，如有时把形体纳入不同的几何背景之中，从而宏观上把握形体，巧妙地解决问题．要把握常见图形及常见题型，关注新题型的考查，比如：存在性问题、与代数结合的最值问题等等．对于一些特殊的技巧要能理解并灵活运用，比如求线面角时，可能转化为斜线段外端点到平面的距离与斜线段的长度的比得线面角的正弦值；距离问题可以用等体积法转化，用这种方法能简化作图、证明与计算的过程．