第27章反比例函数

第1页第二十七章反比例函数27.1反比例函数的图象与性质（2011江苏省无锡市，4，3′）若双曲线kyx与直线21yx一个交点的横坐标为－1，则k的值为（）A．－1.B.1C.－2D.2【解析】双曲线与直线的交点坐标适合两者的解析式，利用21yx可以求出交点坐标为（－1，－1），进而求出k=1【答案】B【点评】本题主要考查学生对坐标与解析式之间的关系的理解，适合解析式的点在图象上，图象上的点适合解析式。（2012浙江省温州市，16，5分）如图，已知动点A在函数4(0)yxx的图象上，ABx轴于点B，ACy轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC。直线DE分别交x轴于点P，Q。当49QEDP：：时，图中阴影部分的面积等于_______【解析】本题是一道难度较大的反比例函数综合题，可构造相似三角形，利用相似计算求解。【答案】133(2012四川省南充市，6，3分)矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为（）解析：由矩形的面积知xy=9，可知它的长x与宽y之间的函数关系式为y=9x（x＞0），是反比例函数图象，第2页且其图象在第一象限．故选C．点评：由矩形的面积公式，得出它的长y与宽x之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质确定图象的形状及所处象限．注意实际问题中的函数问题需要注意自变量x的取值范围。（2012山东省荷泽市，6，3）反比例函数2yx图象上的两上点为（x1,y1）,(x2,y2)，且x1x2,则下列关系成立的是（）A.y1y2B.y1y2C.y1=y2D.不能确定【解析】反比例函数2yx的图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，因为x1x2，当两点分在两个象限时y1y2，当两点在同一个象限时，y1y2，故先D.【答案】D【点评】首先确定反比例函数所在的象限，注意反比例函数图象在每个象限的变化规律，当比较两函数值的大小时，一定要分为在两个象限或在同一个象限两种情况.（2012广州市，10，3分）如图3，正比例函数y1=kx和反比例函数y2=2kx的图像交于A（-1,2）、（1,-2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是（）A.x＜-1或x＞1B.x＜-1或0＜x＜1C.-1＜x＜0或0＜x＜1D.-1＜x＜0或x＞1【解析】根据图像观察一次函数的图像在反比例函数图像的下方自变量的取值范围。【答案】从图像观察可知一次函数图像在下面的取值范围可知答案为D。第3页【点评】本题考查同学们用函数的图像解不等式。（2012福州，10，4分，）如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A、B两点，若反比例函数kyx（x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是（）A．2≤k≤9B.2≤k≤8C.2≤k≤5D.5≤k≤8解析：当点C（1,2）在反比例函数kyx上时，则k=2,由6,kxx则260xxk，当2(6)40k时，直线与双曲线有且一个交点，即k=9，因此反比例函数kyx（x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是2≤k≤9。答案：A点评：本题通过对问题的特殊化，考察了学生解题思维的灵活性，通过数形结合，考查了建立方程模型解决问题的能力。(2012山东省临沂市，12，3分）如图，若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数xk1y（x＞0）和xk2y（x＞0）的图象于点P和Q，连接OP、OQ,则下列结论正确的是（）A.∠POQ不可能等于900B.21KKQMPMC.这两个函数的图象一定关于x轴对称D.△POQ的面积是）（|k||k|2121【解析】当P、Q两点的横纵坐标的绝对值相等时,△POM和△QOM是等腰直角三角形,即∠POQ=900，A不正确；PM、QM是线段的长，比值是正数，K1，K2符号不同,比值为负,B不正确；只有当|K1|=|K2|时，两个公式图象关于x轴对称,C不正确；S△POQ=S△POM+S△QOM=2|K|1+2|K2|=)|k|k(||2121，故D正确.第4页【答案】选D.【点评】本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行说理是解此题的关键．（2012浙江省衢州，12，4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式.【解析】图象位于第二、四象限的反比例函数的比例系数k＜0.【答案】答案不唯一，如y＝－1x【点评】主要考查了反比例函数的图象性质：反比例函数kyx的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．（2012四川内江，3，3分）已知反比例函数y＝kx的图象经过点（1，－2），则k的值为A．2B．－12C．1D．－2【解析】反比例函数y＝kx的图象经过点（1，－2），表明在解析式y＝kx中，当x＝1时，y＝－2，所以k＝xy＝1×(－2)＝－2．【答案】D【点评】点在曲线上，则点的坐标满足曲线解析式，反之亦然．（2012贵州铜仁，5，4分）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数kyx=的图象经过点A，则k的值是（）A．2B．-2C．4D．-4【解析】∵正方形ABOC的边长为2∴A的坐标（-2,2）∴把A点坐标代入y=xk得：2=2k∴k=-4【解答】D.5题图第5页【点评】此题考查反比例函数系数k的几何意义，一般方法是求出一个点的坐标，代入xky即可.简单方法是反比例函数上的点与两坐标轴围成矩形的面积就是｜k｜,图像在一、三象限，k取正；在二、四象限，k取负.(2012山东德州中考,8,3,)如图，两个反比例函数1yx和2yx的图象分别是1l和2l．设点P在1l上，PC⊥x轴，垂足为C，交2l于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交2l于点B，则三角形PAB的面积为（）（A）3（B）4（C）92（D）5【解析】可设P（a，1a），∵P和A的纵坐标相同，又A在2l上，可得A点的纵坐标为2-a，∴PA=3a．P点和B点的纵坐标相同，同理可得B点横坐标为-2a，即PB=3a，所以三角形PAB的面积为13××32aa=92．故选C．【答案】C．【点评】结合反比例函数的图象表示出点P、A、B的坐标是解题的关键，然后根据直角三角形的面积公式求出结论．（2012湖南湘潭，16，3分）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例(即)0(kxky)，已知200度近视眼镜的镜片焦距为m5.0,则y与x之间的函数关系式是.【解析】将x=0.5，y=200代入)0(kxky得K=100，则y与x之间的函数关系式是xy100。【答案】xy100。【点评】此题考查函数关系式的求法。将已知数代入反比例函数关系式(即)0(kxky)中，确定系数K的值。（2012江苏盐城，14，3分）若反比例函数的图像经过点P（-1,4），则它的函数关系是.【解析】本题考查了反比例函数的定义.掌握定义中K的确定方法是关键.本题考查点在函数图像上与函数解析式xyAPBDCO1l2l第6页的关系，常规方法是直接代入计算.【答案】将图象上的点坐标P（-1，4）代入反比例函数解析式y=kx即可求出k=-4，所以y=-4x.【点评】此题是对反比例函数考查.已知函数图象上的点坐标，求函数解析式，往往是将坐标代入解析式，经过简单解方程（或方程组），这样求出待求系数.中考中，常以选择题、填空题、简答题方式出现.（2012连云港，13，3分）已知反比例函数y=2x的图像经过点A（m，1）,则m的值为。【解析】把点A的坐标代入反比例函数解析式，得到关于m的方程即可求得m的值。【答案】由题意得1=2m，得到m=2.【点评】图像经过点或点在图像上说明点的坐标适合函数解析式。列出相应方程求未知字母的值。（2012连云港，16，3分）如图，直线y=k1x+b与双曲线y=2kx交于Ａ、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜2kx+b的解集是。【解析】不等式k1x＜2kx+b，即为k1x－b＜2kx。把y=k1x+b的图像向下平移2b个单位，找出双曲线与新直线y=k1x－b中，直线在双曲线下侧的自变量的取值范围即可。【答案】－5＜x＜－1或x＞0【点评】易错点：容易漏掉第一象限的部分，本题取值范围有两部分。（2012江西，19，8分）如图，等腰梯形ABCD放置在平面直角坐标系中，已知(2,0)A、(6,0)B、(0,3)D，反比例函数的图象经过点C．第7页（1）求C点坐标和反比例函数的解析式；（2）将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后，使点B恰好落在双曲线上，求m的值．解析：（1）在平面直角坐标系中，由等腰梯形ABCD的性质及(2,0)A、(6,0)B、(0,3)D三点的坐标，可求得C点坐标，再用待定系数法求得反比例函数的解析式，（2）等腰梯形ABCD向上平移m个单位后的点B′的坐标为B′（6，m），代入反比例函数的解析式即可．答案：解：（1）过点C作CE⊥AB于点E，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，DO=CE，∴△AOD≌△BCE，∴AO=BE=2，∵BO=6，∴DC=OE=4，∴C（4，3）；设反比例函数的解析式(0)kykx，根据题意得：34k，解得12k；∴反比例函数的解析式12yx；(2)将等腰梯形ABCD向上平移m个单位后得到梯形A′B′C′D′，∴点B′（6，m）∵点B′（6，m）恰好落在双曲线12yx上，∴当6x时，1226m,即2m．点评：本题主要考查了平面直角坐标中点的坐标的求法、反比例函数及平移知识，设点P(m，n)，有：在平面直角坐标系中，图形向右（左）平移m个单位，则图形上各点的纵坐标不变，横第8页坐标加上（或减去）m个单位（m＞0）；图形向上（下）平移n个单位，则图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上（或减去）n个单位（n＞0）．（2012湖北襄阳，22，7分）如图9，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝2kx相交于A（1，2），B（m，－1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；（3）观察图象，请直接写出不等式k1x＋b＞2kx的解集．【解析】（1）先将A（1，2）代入y＝2kx求得k2，再将B（m，－1）代入求得m值，接着运用待定系数法求得直线解析式．（2）（3）两问可借助图象直接观察求解．【答案】解：（1）∵双曲线y＝2kx经过点A（1，2），∴k2＝2．∴双曲线的解析式为：y＝2x．∵点B(m，－1)在双曲线y＝2x上，∴m＝－2，则B（－2，－1）．由点A（1，2），B（－2，－1）在直线y＝k1x＋b上，得112,21.kbkb解得11,1.kb∴直线的解析式为：y＝x＋1．（2）y2＜y1＜y3．（3）x＞1或－2＜x＜0．【点评】一般情况下，一次函数与反比例函数的交点已知时，要先确定反比例函数解析式，因为反比例函数解析式中只有一个待定系数，而一次函数有两个待定系数．象第（2）题这样的问题，往往从图象上直接观察容易得解，不要通过死记反比例函数的增减性解答．而象第（3）题这样的问题，需注意理解位于上方的函数图像的函数值较大.整题充分体现了数形结合的数学思想．图9第9页（2012浙江省衢州，16，4分）如图，已知函数y＝2x和函数y＝kx的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E，若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是.【解析】根据反比例函数中比例系数k的几何意义，得出等量关系12|k|=4，求出k的值为8，然后结合函数y＝2x和函数y＝8x可求出点A(2，4)，再根据平行四边形的性质可求得P点坐标．【答案】P1(0，－4)，P2(－4，－4)，P3(4，4)(对一个得2分，对二个得3