28.2.2应用举例概述

3/4/202028.2.23/4/2020例3：2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接。“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，取3.142结果取整数）分析：从组合体能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．QFPα如图，⊙O表示地球，点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，的长就是地球表面上P、Q两点间的距离，为计算的长需先求出∠POQ（即a）的度数PQPQO3/4/2020解：设∠POQ＝a,在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．QFPαO9491.034364006400cosOFOQa36.18a∴PQ的长为︵km20516400180142.336.18640018036.18由此可知，当飞组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km3/4/20201、一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是(单位：米)（）A.5cos31°B.5sin31°C.5tan31°D.5cot31°B3105米综合练习2、如图为了测量小河的宽度，在河的岸边选择B、C两点，在对岸选择一个目标点A，测∠BAC=75°,∠ACB=45°,BC=48m,则河宽米ABCD324723/4/20203.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（根号保留）．222cm4.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，D是BC上一点，且∠DAC＝30°，求BD的长和S△ABD54sinB54sinABACBAC=8,BC=6,338338tanDACACDC338183386BD33327221ACBDSABDABCD解：3/4/2020铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.3/4/2020例4:热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？ABCDαβ分析：由题意可知，在图中，a=30°,β=60°在Rt△ABC中，a=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．解：如图，a=30°,β=60°，AD＝120．ADCDADBDatan,tan30tan120tanaADBD3403312060tan120tanADCD312031203120340CDBDBC)(2773160m答：这栋楼高约为277m3/4/20201.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角50°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）ABCD40m54°45°ABCD40m50°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°BC=DC=40m在Rt△ACD中tanACADCDCtanACADCDC所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2答：棋杆的高度为15.2m.练习2.554038.14050tan03/4/20202.如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）50°140°ABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°cosDEBDEBDcosDEBDEBDcos505200.64520332.8答：开挖点E离点D332.8m正好能使A，C，E成一直线.解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角3/4/2020当堂反馈2.在离铁塔BE120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=_________（根号保留）．(4031.5)m1.如图，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为m，则下面结论中正确的是（）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°1003(50)3C3/4/20203.在平地上一点C，测得山顶A的仰角为30°，向山沿直线前进20米到D处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AB？解：根据题意，得AB⊥BC，∴∠ABC＝90°∵∠ADB＝45°，∴AB＝BD∴BC＝CD＋BD＝20＋AB在Rt△ABC中，∠C＝30°BCABCtan30tan3320ABAB10310ABAB10310答：山高为＋米.ABCD3/4/20204.如图，线段AB、CD表示甲、乙两幢楼的高．从甲楼底部B处测得乙楼顶部C的仰角是45°，从乙楼顶部C处测得甲楼顶部A的俯角是30°.已知甲、乙两楼间的距离BD＝60m，求甲、乙两楼的高（精确到1m）解:作AE⊥CD，垂足是E，AE＝BD＝60，3203360tanCAEAECE32060CECDABm25,m60ABCDEABCD3/4/202030°45°BOA东西北南方位角指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角.如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）3/4/2020例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmine的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？65°34°PBCA解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91≈72.505PBPCBsinmilen13034sin505.72sinBPCPB在Rt△BPC中，∠B＝34°因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130nmine．3/4/2020船有触礁的危险吗？审题，画图。茫茫大海中有一个小岛A,该岛四周16海里内有暗礁.今有货船由东向西航行,开始在距A岛30海里南偏东600的B处,货船继续向西航行。你认为货船继续向西航行途中会有触礁的危险吗?60ºAC30海里？这个问题归结为:在Rt△ABC中,已知∠A=60°,斜边AB=30,求AC的长.北B3/4/2020练习1.如图，海中有一个小岛A，它的周围8nmine内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12nmine到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BADF30°60°解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF=x,AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理222223AFADDFxxx在Rt△ABF中，tanAFABFBF3tan3012xx解得x=666310.4AFx10.48没有触礁危险123/4/2020坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，lh在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.坡度图19.4.5如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i，即i=.坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.tanα＝lhi:试一试1、如图（1）若h=2cm，l=5cm，则i=；（2）若i=1:1.5，h=2m，则l=；（3）一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；ABhlC3m40m5221３2、水库的横断面是梯形ABCD，迎水坡AB的坡度i=1：2，坝高h=20m，迎水坡的水平宽度=，tana=；ABCDE3/4/20203、植树节，某班同学决定去坡度为1︰2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m，斜坡上相邻两树间的坡面距离为m.ACB533/4/20204.如图，水库的横截面是梯形，坝高23m，斜坡AB的坡度，斜坡CD的坡度i'=1:1,求斜坡AB的长及坡角a和坝底宽AD（精确到0.1m）解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F，则BE＝23m在Rt△ABC中，3331tani∴α=30°∴AB=2DE=46(m)31AEBEi又3123AE即)m(323AEABCDα1:3iEF1:3i在Rt△CFD中，11'FDCFi∴FD=CF=23(m)236323FDEFAEADm8.68323293/4/20205．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1∶.(1)求加固后坝底增加的宽度AF；(结果保留根号)(2)求完成这项工程需要土石多少立方米？(结果保留根号)解：过E，D作EM⊥BF于M，DN⊥BF于N，则MN＝DE＝3米，EM＝DN＝10米，在Rt△AND中，AN＝＝10米，045tanDN(2)∵S梯形ADEF＝203502)(DNFAED∵i＝，∴FM＝米，31FMEM310∴(50－20)×500＝25000－10000(米3)333∴AF＝FM＋MN－AN＝(10－7)米33/4/2020利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．(有“弦”用“弦”;无“弦”用“切”)3/4/2020