第八章、刚体力学 (2)

1第八章刚体力学§１.刚体运动学§２.刚体的质心及其运动定理§３.刚体定轴转动定律§４.刚体定轴转动能量及其规律§５.刚体的平面运动的动力学§6.刚体的静力学§7.刚体定点的运动《物体转动的新理论》2引言•?刚体:把物体看作有质量和大小形状，但在外力作用下大小形状不发生改变的理想模型；(1)在外力的作用下,任意两点均不发生相对位移;(2)内力无穷大的特殊质点系——内力做功为零；(3)刚体是弹性系数很大的一类物体的抽象；(4)若把刚体分为许多质元，每个质元都小到可看作质点，那么刚体就是各质元间相对位置不发生变化的特殊质点系，简称不变质点系；研究刚体力学的基本思路和方法：把质点系的一般概念、规律应用到刚体这个特殊质点系上，就可得到刚体运动的特殊规律。•?自由度:确定力学体系在空间几何位形所需独立变量个数。①刚体几何位形变量只要6个（位置变数3、方位变数2和转动角变数1）；②体系运动自由度m，决定了其独立的微分方程组的数目有m个,其中每个方程均为二阶微分方程；③若运动被限制或被约束,其自由度将减少，多一个约束条件,就减少一个自由度。3§1刚体运动学xyz如果刚体上任意一条直线在运动过程中的各个位置都互相平行，那么刚体的运动就是平动（平动刚体不一定做直线运动）；平动刚体上各质元的速度、加速度都相同。？定轴转动：如果刚体上各质元都绕同一条轴线做圆周运动；与转轴平行的直线上各点运动情况完全相同，因此只需选取与转轴垂直的一个平面图形（转动平面图形）来研究就可以了，其位置可由角坐标θ=θ(t)确定。xyAθz㈠刚体平动㈡刚体定轴转动4（1）定轴转动的角量描述•两点说明：①这些角量都是代数量，一般规定：面对z轴，逆时针转动为正，顺时针转动为负；②刚体上各点角位移、角速度和角加速度都是相同。角坐标：()t角位移：()()ttt角速度：/ddt角加速度：/ddtoxyAθzoxyAθ5（2）定轴转动的基本运动学问题求导积分求导积分β(t)ω(t)θ(t)初始条件:t=t0时,θ=θ0，ω=ω0求导积分求导积分a(t)v(t)r(t)初始条件:t=t0时,r=r0,v=v0匀变速转动(β=C)和匀变速直线运动(a=C)相对应：0,0,0vvxtatvv02210attvxaxvv22020,0,0tt02210tt2202初始条件速度公式位移公式速度位移关系6（3）角量与线量的关系sxdsdθr22,,,vnrdsdrvraravr•角速度矢量：，方向沿转轴并与刚体转动方向构成右手螺旋系；/ddt,xyzxyzijkijk•定轴转动中，线量与角量关系的矢量表示：,,nvraravarvxyznaavr（4）角量的矢量表示•在直角坐标系中的分量表示：•角加速度矢量：，方向可能与方向相同，也可能和方向相反；/ddt7㈢刚体的平面运动（1）平面运动的特点及方法•特点：①刚体上各质元均在相互平行的平面内运动；②垂直于平行平面的直线上的各点，运动情况相同。•方法：①建立固定坐标系o-xyz，使运动平面图形在o-xy平面内；②在运动平面图形上任选一点B做为基点，建立基点坐标系B-x’y’z’,基点坐标系相对固定坐标系只发生平动；③刚体的平面运动=刚体随基点坐标系的平动+刚体绕基点坐标系的转动。x'y'xoyB8（2）平面运动刚体上任意一点的速度、加速度考虑刚体上任意一点A：'Brrr''BBvvvvr表明：刚体上任一点的速度等于该点随基点坐标系的平动速度加上该点绕基点坐标系的转动速度；(')''''BBBdrddraaararvdtdtdt表明：刚体上任意一点的加速度等于该点随基点坐标系的平动加速度加上该点绕基点坐标系的转动加速度。x'y'xyor'rBrBA9考虑与地面接触点E的速度：如果圆柱体只滚不滑，应满足：例8.1：如图所示，半径为r的圆柱体做无滑滚动，画出A、B、D点的速度矢量图，并讨论圆柱体只滚不滑的条件。Cvvr0ECvvrCvr即CABDEωrCvrCvAvrCvBvrCvDv解：选圆柱的几何中心C为基点，则圆柱边缘上任一点的速度：Car两边对时间求导：10一般来说，刚体任何运动都可分解为基点的平动和绕该点的定点转动的合成；选择不同的基点，平动速度就不同，转动角速度就与基点的选择无关。？刚体角速度的绝对性：刚体上的角速度矢量的大小和方向都相同。证明：如图,选c为基点，则p点速度pcvvR（3）刚体角速度(矢量)的绝对性若选c’为基点，则p点绕c’点有一角速度ω’，则cRpRccRpcvvR11注意到代入前一式则有由此得到故刚体上角速度矢量的大小和方向都相同，与基点无关。RRRRvvccccRRRvRvRvccc0RRcRpRccR12§2、刚体的质心及其运动定理㈠刚体的质心（1）质心计算公式（2）求质心的几种方法（a）对称法：根据刚体质心的定义式可知，刚体的质心必定在刚体的对称中心、对称轴、对称平面上；iiiCmrmr/iiiCmxmx/iiiCmymy/iiiCmzmz/•质量分散分布：dmdmrrC/dmzdmzdmydmydmxdmxCCC/,/,/•质量连续分布：（b）分割法：根据刚体的形状，把刚体分成几部分，转化成求几个质点的质心；oxy（c）积分法：选取合适质元、坐标，通过做积分求出质心。13例8.2：如图所示，在半径为R的匀质圆板上钻一个半径为R/2的圆孔，求钻孔圆板的质心。解：补上被钻掉的小圆板，整个大圆板可看作由小圆板mA和月牙板mB组成。由对称性分析可知：大圆板的质心在o点，小圆板的质心在A点，要求的月牙板的质心在x轴上的某一点，设为B62312])2/([)2/(222RRRRRRxmmxABAB0)/()(CBABBAAxmmxmxm据质心计算公式：ABomBmAx14例8.3：求半径为a的匀质半球的质心。解：建立图示坐标系o-xyz，由对称性分析，质心必在z轴上，即xc=0,yc=0，在坐标z处，取高为dz的薄圆盘状质元xyzorazdzdzzadzrdm)(222azaazadzaazdzzaaazdzzadmzdmzaaaC830222302222302233342122|)(2143)()()21(23)(23)(据计算质心的积分公式：15㈡刚体的动量与质心运动定理②刚体的动量守恒定律：若刚体所受外力矢量和为零，则刚体的动量保持不变。即若，则0exFCmv恒矢量•质点系的有关概念和规律都适用于刚体iiCPmvmv①刚体的动量：exCFma③刚体的质心运动定理：I:\桌面\演示内容\刚体力学\双锥体爬坡.wmv16例8.4、求偏心飞轮对轴承的压力：已知匀质飞轮质量m=5.0kg，半径r=0.15m，转速n=400rev/min，质心C距转轴O距离d=0.001m，飞轮所受重力忽略不计。COdF解:以飞轮为研究对象，设轴对其压力为据质心运动定理：CFmannndmFˆ227ˆ001.0)(0.5ˆ'26024002据牛顿第三定律，飞轮对轴的压力：•转轴偏离质心会产生较大附加压力，使机座产生有害振动或使轴承变形，因此要尽量使质心位于转轴上。ndmFndaanCˆ,ˆ,02217§3、刚体定轴转动定律A、刚体对转轴的角动量2()ziiiiizLmrvmr令,叫刚体对z轴的转动惯量,2iizmrIzzzLIB、刚体的定轴转动定律（把角动量定理应用到定轴转动的刚体上）zzzzzzIdtIddtdLM/)(/MI外表明：作用于刚体上的外力对转轴的力矩之和，等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。C、刚体对轴的角动量守恒定律若作用于刚体的外力对某轴的力矩为零，则刚体对该轴的角动量守恒。即，zzzM0,IωConst㈠转动刚体的角动量和转动定律xyzωmiiriv讨论刚体作定轴转动时的动力学关系：18㈡刚体对转轴的转动惯量•把转动定理和质心定理进行对照，可知：m是物体平动时惯性大小的量度，I则是物体转动时惯性大小的量度，因此称为转动惯量。MIβzCFma外转动惯量的定义和物理意义2iiImr2Irdm•转动惯量定义：•转动惯量的大小取决于刚体质量对转轴的分布情况，单位是：kgm2C:\桌面\演示内容\刚体力学\曲面桌滚盘演示.rmvb19常见匀质刚体的转动惯量刚体名称刚体图形转轴位置转动惯量细杆m,l过中心且与杆垂直2121ml矩形薄板m,a,b2121ma2121mb细圆环薄圆筒m,R过中心与端面垂直2mR圆盘圆柱m,R过中心与端面垂直221mR空心圆盘空心圆柱m,R1R2过中心与端面垂直)RR(m222121实心球体m,R任一直径252mR薄球壳m,R任一直径232mRc:\桌面\演示内容\刚体力学\导轨转球演示.rmvb20例8.5：证明空心圆盘对过质心与端面垂直的轴的转动惯量：)(222121RRmIrR2R1dr证明：在坐标r处取宽度为dr的细圆环，转动惯量为：drrrdrrdmrdI32222（证毕）)()()(21|412222212141422122432121RRmRRRRmrdrrIRRRR令，即得细圆环的转动惯量：12RRR2ImR令，即得圆盘的转动惯量：120,RRR212ImR21例8.6：证明球体对任意直径的转动惯量为：225ImR证明：如图所示，在坐标z处取高为dz的小圆柱作为质元，dzzRdzrdmrdIdzrdm222214212212)(,2535513312521422421422421222215215163/421)2222(]2[)2()(mRRRmRRRRdzzdzzRdzRdzzzRRdzzRIRRRRRRRRRRdzzRrO22例8.7：质量为M、长为L的均匀细杆，静置于光滑的水平面上，可绕过杆中点O的固定铅垂轴自由转动。一质量为m的子弹以v0速度自杆的左方沿垂直于杆的方向射来，嵌入杆的上端A点，求子弹嵌入杆后杆的角速度。解：在子弹与杆端A碰撞的Δt时间内，设杆受到的平均冲力为F，根据转动定律，杆得到角加速度β，则在发生相互作用的Δt时间内，杆得到的角速度ω的大小为LFIβ2tF2ILβΔtω子弹受到反方向冲力F，也得到与v0反向加速度a，而有F=ma在Δt时间内子弹的动量变化为：mv0–mv=maΔt=FΔt但子弹在嵌入杆端A后与杆一起运动，应有v=ω.L/2即FΔt=mv0–mωL/2,代入上式可得:4mL12ML2Lmv4mLI2Lmvω4IωmL2ILmv)2mLω(mv2ILω22020200O•mv0MA23yxz㈢平行轴定理和正交轴定理如果刚体的质量为m,O轴与过质心的C轴平行,相距为d,则2mdIICoycxcyiyyi'y'xixi'xx'mi2222222222222222()[(')(')](''2'2')('')2'2'()'2020oiiiiiiCiCiiiiiCiCCCiiiCiiCiiiCCiiCCCImrmxymxxyym