积分例题

例4计算下列积分.d1(3).d1(2).d)1(23xxxxxx.43131134131CCxxxxxxdd1(2)21解xxxxdd(1)313xxxxdd1(3)22.22111211CxCx.112112CxCx例5计算下列积分(1)2.()..21d(2)d(3)dxxxxxex解(1)22dln2xxxC(3).deexxxC11111()d()()122ln22ln2xxxxCC(2)例1.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为12xyyxo)2,1(积分常数的确定例2求积分.2dxxx解dxxx2dxx25Cx125125.7227Cx根据积分公式（2）Cxdxx11例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例2求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,x2y,Cxxdx2y2由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xy基本积分表kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;C|x|lnxdx)3(3.基本积分公式dxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCx由不定积分的定义，可知有如下性质14.不定积分的性质dx)]x(g)x(f[)1(;)()(dxxgdxxfdx)x(fadx)x(af0a)2(例求积分解.)1213(22dxxxdxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C一、填空题：1、一个已知的函数，有______个原函数，其中任意两个的差是一个______；2、)(xf的________称为)(xf的不定积分；3、把)(xf的一个原函数)(xF的图形叫做函数)(xf的________，它的方程是)(xFy，这样不定积dxxf)(在几何上就表示________，它的方程是CxFy)(；4、由)()('xfxF可知，在积分曲线族CxFy)()(是任意常数C上横坐标相同的点处作切线，这些切线彼此是______的；5、若)(xf在某区间上______，则在该区间上)(xf的原函数一定存在；练习题6、dxxx______________________；7、xxdx2_______________________；8、dxxx)23(2_________________；9、dxxx)1)(1(3_____________；10、dxxx2)1(=____________________.一、1、无穷多,常数；2、全体原函数；3、积分曲线,积分曲线族；4、平行；5、连续；6、Cx2552；7、Cx2332；8、Cxxx223323；9、Cxxxx2325332523、10、Cxxx252352342.练习题答案求积分解.)1(21222dxxxxdxxxx)1(21222dxxxxx)1(12222dxxdxx22111.arctan1Cxx例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例2求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy根据题意知,2xdxdy,22Cxxdx,)(2Cxxf由曲线通过点（1，2）,1C所求曲线方程为.12xy)(xfx2即是的一个原函数.dxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCx1.(3cos)xexdx2.2xxedx(2)xedx(2)ln(2)xeCe(2)ln21xeC3cosxedxxdxsinxexC例5求积分解.)1213(22dxxxdxxx)1213(22dxxdxx22112113xarctan3xarcsin2C例6求积分解.)1(122dxxxxxdxxxxx)1(122dxxxxx)1()1(22dxxx1112dxxdxx1112arctanln.xxC提示：(3)ln;dxxCx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdx(3)ln;dxxCx例7求积分解.)1(21222dxxxxdxxxx)1(21222dxxxxx)1(12222dxxdxx22111.arctan1Cxx一、1、无穷多,常数；2、全体原函数；3、积分曲线,积分曲线族；4、平行；5、连续；6、Cx2552；7、Cx2332；8、Cxxx223323；9、Cxxxx2325332523、10、Cxxx252352342.练习题答案一、1、无穷多,常数；2、全体原函数；3、积分曲线,积分曲线族；4、平行；5、连续；6、Cx2552；7、Cx2332；8、Cxxx223323；9、Cxxxx2325332523、10、Cxxx252352342.练习题答案6、dxxx______________________；7、xxdx2_______________________；8、dxxx)23(2_________________；9、dxxx)1)(1(3_____________；10、dxxx2)1(=____________________.答案：例求积分∫(1+x3)2dx。解dxxxdxx)21()1(6323一般几个不定积分相加时，常把得到的常数加到一起写成一个常数C。dxxdxxdx632Cxxx747142Cxxx747142Cxxx747142Cxxx747142Cxxx747142例1、求曲线与直线x轴所围成的图形面积。]32,0[sinxxy　,32,0xx略解：根据定积分的几何意义所求面积为2332320oxxdxS|cossin＝