行列式的计算技巧——毕业论文

2016届本科毕业论文行列式的计算方法姓名：____***____________院别：____数学与信息科学学院________专业：____数学与应用数学____________学号：___0000000000______________指导教师：____***_______2016年5月1日2016届本科生毕业论文I目录摘要....................................................错误!未定义书签。关键词.......................................................错误!未定义书签。Abstract.....................................................错误!未定义书签。Keywords....................................................错误!未定义书签。0引言.......................................................错误!未定义书签。1基本理论...................................................错误!未定义书签。2行列式的计算技巧...........................................错误!未定义书签。2.1化三角形法...........................................错误!未定义书签。2.2递推法...............................................错误!未定义书签。2.3降阶法...............................................错误!未定义书签。2.4数学归纳法...........................................错误!未定义书签。2.5范德蒙德行列式法.....................................错误!未定义书签。2.6拉普拉斯定理法.......................................错误!未定义书签。2.7拆行(列)法..........................................错误!未定义书签。2.8构造法...............................................错误!未定义书签。参考文献.....................................................错误!未定义书签。致谢........................................................错误!未定义书签。2016届本科生毕业论文1行列式的计算方法摘要行列式是代数学重要研究工具,并且在物理,经济,金融等各学科当中都着有广泛的应用.本文针对行列式的特点,利用行列式的性质,主要讨论了行列式的计算方法,例如：三角形行列式法，递推法，降阶法，范德蒙德行列式法等，并且根据每一种计算方法的特点，通过典型的例题进行论述.关键词行列式;计算技巧;范德蒙行列式;上三角形ThedeterminantcalculationtechniquesAbstractDeterminantisanimportanttoolinalgebraresearch,whichhasawiderangeofapplicationsinphysics,economic,financialandsoon.Thispaperaccordingtothecharacterandqualityofdeterminant,discussthecalculationmethodtodeterminant,forinstance:thetrianglemethod,therecursionmethod,theorderreductionmethod,Vandermondedeterminantmethodect,basisonthecharacterofeverycalculationmethod,discussthingsthroughtypicalexamples.KeywordsThedeterminant;Computingskills;Vandermondedeterminant;Thetriangle2016届本科生毕业论文20引言行列式描述的是在n维空间中,一个线性变换形成的平行多面体的体积,被广泛应用于解线性方程组,计算微积分,矩阵运算等.行列式最初是伴随着方程组的求解发展起来的.发展至今,行列式已成为代数学中的重要内容,在数学理论上有着十分重要的地位.行列式的概念最早是在十七世纪日本数学家关孝和在一部叫做《解伏题之法》的著作中提出来的.十八世纪法国数学家范德蒙德首先把行列式作为专门理论独立于线性方程组之外进行研究.而十九世纪,是行列式理论形成和发展的重要时期.1815年,柯西在他的一篇论文当中给出了关于行列式的第一个系统的、并且几乎是近代的处理.当中主要结果之一则是是行列式的乘法定理.除此之外,他还是把行列式的元素排成方阵的第一人,并且采用双足标记法.他不仅引进了行列式特征方程的专业术语;还给出了相似行列式概念.本文主要讨论行列式解题方法和解题思路.本文重点讨论了8种较为典型的计算行列式的解题技巧,并在给每一种计算技巧都提供了典型的例题,帮助理解相对应的技巧方法.本文分成两个部分,第一部分重点叙述了行列式的定义,基本性质以及矩阵的定义.第二部分论述了计算行列式的方法以及应用.以便可以更有针对性的根据行列式的特点选择出比较便捷的计算方法,从而更快的计算出行列式,并且在物理,经济,金融等各学科当中能够取得更有效的学习.1基本理论1.1定义1[2]n错误!未找到引用源。级行列式111212122111nnnnnnaaaaaaaaa等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积1212nnjjjaaa(1)的代数和,这里12njjj是1,2,,n的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12njjj是偶排列时,(1)符号为正;当12njjj是奇排列时,(1)带有负号.此定义又可写成12121112121221()1111211=(1),nnnnjjjjjjjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa这里12jjjn表示对所有n级排列求和.1.2n错误!未找到引用源。级行列式的基本性质性质1行列互换,行列式不变.2016届本科生毕业论文3112111112112222212221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa.性质2行列式中任意两个行或列互换,行列式值改变符号.1112111121121212121212nniiinjjjnjjjniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa.性质3某个数乘以行列式的某一行或者某一列,则可以将该数提取到行列式外.111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakaaaaaaaaaa.性质4[3]如果某一行(列)是两组数相加的和,那么此行列式就等于两个行列式的和,而这两个行列式除去这一行(列)之外,剩下的元素全部对应相同.11121111211112111221212121212nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaabcbcbcbbbcccaaaaaaaaa.性质5如果行列式中有两行或者两列的对应元素相同,则此行列式的值为零.111211212120niiiniiinnnnnaaaaaaaaaaaa.性质6如果在行列式中任意两行(列)对应成比例,则此行列式的值为零.2016届本科生毕业论文411121111211212121212120nniiiniiiniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaakkakakaaaaaaaaaa.性质7把一行(列)的倍数加到另一行(列),则此行列式值符号相反.111211112111221212121212nnijijinjniiinjjjnjjjnnnnnnnnnaaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaaaaa.2行列式的计算技巧行列式是线性代数中的一个重要研究对象,并且是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,因此研究行列式计算技巧实是为了更好的去了解行列式计算过程中的一些方法,为更快更好更方便的解答行列式的计算提供方法.2.1化三角形法定义2由mn个数排列成的m行n列的表1112121222m12nnmmnaaaaaaaaa称为一个矩阵.定义3数域p上矩阵的初等行(列)变换是指以下三种变换:,(2)交换矩阵的两行(列);(3)以一个数0k乘矩阵某一行(列)的所有元素;(4)把矩阵的某一行(列)所有元素的k倍加到另一行(列)对应的元素上去;矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.定义4数域P上主对角线以下或以上的全体元素都是零的n阶方阵，称为三角矩阵.定义5主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角行行列式.且对角线以下(上)的元素全为零的行列式叫做上(下)三角形行列式.命题1[4]上三角形行列式等于主对角线上元素的乘积,即1112122211220.00nnnnnnaaaaaaaaa2016届本科生毕业论文5证明我们首先观察形如(1)式的项有哪一些不为零，然后再来决定他们的符号.项的一般形式为1212nnjjjaaa,在行列式中第n行的元素除去nna以外全为零,因之,只要考虑njn的那些项.在第-1n行中,除去1,11,,nnnnaa外，其余的项全为零.因之1,njn这两个可能.由于njn,所以1nj就不能等于n了,从而-1njn.这样逐步推上去，不难看出,在展开式中,除去1122nnaaa这一项外，其余项全是0.而这一项的列指标所成的排列是一个偶排列，所以这一项带正号.结论得证.如果把一个行列式经过适当变换之后化为三角形,那么其结果即为行列式主对角线上元素的乘积.化三角形法是把原行列式化成上(下)三角形行列式或者对角形行列式计算的方法.一般来说,每个行列式都可以利用行列式的性质转化为三角形行列式.但是对于阶数高的行列式,在通常情况下,计算往往会比较繁琐.因此,在许多的情况下,总是首先利用行列式的性质将原行列式作为某种保值变形,然后再将其化为三角形行列式.任意一个n阶方阵总可以经过行列初等变换化成上(下)三角形矩阵[1](证明见《高等代数》368P).从而把行列式写成上(下)三角形行列式与一个数乘积的形式,其步骤如下:如果行列式的第一行第一个元素为零,首先可将第一行(列)与其他任一行(列)进行交换,使得第一行第一个元素化为不为零,然后把第一行的合适的倍数加到其他各行,使得第一列除了第一个元素之外其他元素全部为零,然后再用相同的方法处理除去第一行第一列余下的低阶行列式,依次化下去,直至化为上三角形行列式,此时行列式的值就等于主对角线上所有元素的乘积.例1计算下列行列式nabbbbabbDbbabbbba.解(1)(1)(1)将所有的行加到第一行上nanbanbanbbabDbba2016届本科生毕业论文61111(1)babbanbbbabbbba1100000(1)(1)().0000nbabanbanbabbabbab例2计算行列式12312341345121221nnnDnnn.解(1)12312312111110111111111011111111101111nnnnnnnnnnn将所有列加到第一列上11111111100(1)(1)-10