行列式的计算方法论文范文

华北水利水电学院行列式的计算方法课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式：2012年11月4日行列式的计算方法摘要：线性代数是大学数学教育中一门主要基础课程，而行列式又是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，因此学会怎样计算行列式对你学好线性代数这门课程有和大的帮助。下文是关于行列式的计算方法的一些总结和归纳，其中共总结了10种方法，并附有关于此方法的应用的案例、例题，介绍一些解题技巧。关键词：行列式计算方法性质例题Abstract:linearalgebraistheuniversitymathematicseducationisamainbasiccourse,andcolumntypeisalsothehigheralgebrabasicandimportantsubjectinone,inthemathematicsofawiderangeofapplications,solearnhowtocomputethedeterminantinlinearalgebraforyoutolearnthecourseandgreathelp.Thefollowingisaboutthecalculatingmethodsofdeterminantofsomesummaryandconclusion,whichweresummarized10kindsofmethods,andwiththeapplicationofthismethodtothecase,example,introducessomeproblemsolvingskill.Keywords:determinantcalculationmethodcharacterexample.一、前言随着科学技术的发展，很多前沿科学都需要运用行列式。现在高等教学已经开设课程。但是同学们对于行列式的计算方法的掌握还是有所不足。遂列举一些行列式的计算方法。二、方法解析方法1利用范德蒙行列式范德蒙行列式：1232222123111111231111()nnijjinnnnnnxxxxxxxxxxxxxx根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去；...)把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。例1：计算n阶行列式11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111nnnnnnnnnananaaananaaDananaa解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到(1)2222211111111121(1)(1)(2)(1)(1)(2)(1)nnnnnnnnnnnananaaDananaaananaa上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：(1)(1)2211(1)[()()](1)()nnnnnjinjinDanianjij方法2利用拉普拉斯定理法拉普拉斯定理的四种特殊情形：1）0nnnnmmmnmmAABCB2）0nnnmnnmmmmACABB3）0(1)nnmnnnmmmmmnAABBC4）(1)0nmnnmnnnmmmmCAABB拉普拉斯定理，在计算行列式时，主要应用k=1的情形，而很少用一般形式，不过当行列式里零元素很多时，运用一般情形的拉普拉斯定理，往往会给行列式的计算带来方便。例2：计算n阶行列式：naaaabDbb解：12222(2)(2)(2,,1)0000000(1)(2)00000000(3,)000000(1)00(2)00[(2)(1)ininninaaaabDnaaaabnCCinnabnnabn利用拉普拉斯定理2]()n方法3化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。例3：计算行列式1123133795204213571464410102D．解：这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．231321431541234211231112311-12-3100102020410204-1020410010200-10-20215302153001-1200222002220022-2D43523524112311123103041020411211612.001020010200010000100002600006例4：计算n阶行列式abbbbabbDbbabbbba解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)anbbbbanbabbDanbbabanbbba11[(1)]11bbbabbanbbabbba1000[(1)]000000bbbabanbabab1[(1)]()nanbab方法4按行（列）展开法（降阶法）设nijDa为n阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有11221,2,,niiiiininDaAaAaAin或11221,2,,njjjjnjnjDaAaAaAjn其中ijA为nD中的元素ija的代数余子式按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为低阶行列式求解的方法叫做降阶法。他可以分为直接降阶法和递推降阶法，直接降阶法用于只需经少量几次讲解就可以求的行列式值的情况。递推降阶法用于须经多次降阶才能求解，并且较低阶行列式与原行列式有相同结构的情况。例5：计算20阶行列式20123181920212171819321161718201918321D解：112020118(1,(2,,20)19)1111111231819202111112121718193111113211617181911111201918321201111111111130222240022221(1)22120000022100000iiiiiccrrD182方法5加边法（升阶法）有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。加鞭法最大特点是要找到每行或每航相同的因子，那么升阶，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到使计算简单的目的。它要求：1保持原行列式的值不变；2新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。加边法的一般做法是：1111111111121221222121111100000nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaabaaaaDaabaaaaaabaa特殊情况取121naaa或121nbbb例6：计算n（n≥2）阶行列式1231111111111111111nnaaDaa，其中120naaa．解：先将nD添上一行一列，变成下面的1n阶行列式：1121111011101110111nnaDaa．显然，1nnDD．将1nD的第一行乘以1后加到其余各行，得11211111001010100nnaDaa．因0ia，将上面这个行列式第一列加第i（2i，…，1n）列的11ia倍，得：1111221212111111111111000001000001000000000111100niinnnnnnniiiinaaaDDaaaaaaaaaaaa例7：计算n级行列式123naxxxxaxxDxxaxxxxa,1,2,,ixain解：加边得121000nxxxaxxDxaxxxa第一行乘以（-1）分别加到其余各行，化为爪形行列式121100100100nxxxaxDaxax＝xaxaxaxxxxaxnnii0000000001211＝)11(1niixaxniixa1)(＝)1(1niixaxniixa1)(方法6递（逆）推法应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。递推法是根据行列式的构造特点，建立起与的递推关系式，逐步推下去，从而求出的值。有时也可以找到与，的递推关系，最后利用，得到的值。这种计算行列式的方法称为递推法。［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。例8：计算n阶行列式12211000010000000001nnnnxxxDxaaaaax．解：首先建立递推关系式．按第一列展开，得：1111112321100010000010010000000111010000010001nnnnnnnnnnnnxxxxDxaxDaxDaxxxaaaaax，这里1nD与nD有相同的结构，但阶数是1n的行列式．现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得：2212221213211221nnnnnnnnnnnnnnnnDxxDaaxDaxaxxDaaxaxDaxaxaxa，因111Dxaxa，故111nnnnnDxaxaxa．最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的．当1n时，显然成立．设对1n阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确．由121112111nnnnnnnnnnnnDxDaxxaxaxaaxaxaxa，可知，对n阶的行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．例9：计算n阶行列式nD＝10000010001000解：按第一行展开，得