24.2.2直线与圆的位置关系2

上节提要直线和圆的位置关系相交相切相离图形公共点个数公共点名称－直线名称－距离d与半径r的关系lOdrlOABdrlOAdr2个交点割线1个切点切线d＜rd=rd＞r没有O请在⊙O上任意取一点A，连接OA。过点A作直线l⊥OA。思考一下问题：1.圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系?2.直线L和⊙O位置有什么关系？为什么？3.由此你发现了什么？lA发现：(1)直线l经过半径OA的外端点A；(2)直线l垂直于半径0A．则:直线l与⊙O相切这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．AOl直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。对定理的理解：切线需满足两条：①经过半径外端；②垂直于这条半径．OrlA如图所示∵OA是半径，l⊥OA于A∴l是⊙O的切线。定理的几何符号表达：判断1.过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的的直线是圆的切线（）3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）×××OrlAOrlAOrlA问题：定理中的两个条件缺少一个行不行?两个条件,缺一不可1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?有以下三种方法:1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的切线。3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。想一想1.如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB,求证:AT是⊙O的切线.TOBA例1证明：∵∠ABT=45°,AT=AB，∴∠T=45°,∴∠BAT=90°,且OA为半径∴AT⊙O的切线。〖例2〗已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可。证明：连结OC(如图)。∵⊿OAB中，OA＝OB,CA＝CB,∴AB⊥OC于C。∵OC是⊙O的半径∴AB是⊙O的切线。已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?辅助线：有交点，连半径，证垂直辅助线：无交点，作垂直，证等于半径.〖例2〗已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。OABCED证明：过O作OE⊥AC于E。∵AO平分∠BAC，OD⊥AB∴OE＝OD即圆心O到AC的距离d=r∴AC是⊙O切线。练习如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心，5为半径的⊙O与OA、OB相交。求证：AB是⊙O的切线。OBAC例1与例2的证法有何不同?(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。OBACOABCED归纳分析练习1如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=300.求证:DC是⊙O的切线..ABDCO练习2:如图，AB是⊙O的直径，∠PAB＝90°，连接PB交⊙O于点C，D是PA边的中点，连接CD.求证：CD是⊙O的切线．(连接OC，OD)如图，以Rt△ABC的直角边BC为直径作半圆O，交斜边于D,OE∥AC交AB于E求证：DE是⊙O的切线。ADCOBE将上页思考中的问题反过来,如果L是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线L是不是一定垂直呢?一定垂直切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径ABCO如图，AB是⊙O的直径，BC是O⊙的切线，若OC=AB，则∠C的度数为（）A.15°B.30°C.45°D.60°2.求证：经过直径两端点的切线互相平行练习：DCBAO已知：如图，AB是⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线.证明：如图，AB是⊙O的直径∵AC、BD是⊙O的切线∴AB⊥ACAB⊥BD∴AC∥BD求证:AC∥BD•如图：三角形ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。•求证：AC是⊙O的切线。.OABCDE练习2如图的两个圆是以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点.求证：C是AB的中点.CABO证明：如图，∴C是AB的中点.AC=BC根据垂径定理，得OC⊥AB连接OC,则已知，如图AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD,垂足为D，连接BC。求证BC平分∠PBDAOPBDC如图，AB是⊙O直径，直线EF交⊙O于C、D两点，AD⊥EF于点D.求证：∠CAD=∠BAG.BADOECFG１、切线和圆只有一个公共点。２、切线和圆心的距离等于半径。３、切线垂直于过切点的半径。４、经过圆心垂直于切线的直线必过切点。５、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。•下列说法：1）垂直于切线的直线必过圆心。2)过圆心且垂直于切线的直线必过切点。3）经过直径两个端点的切线互相平行。4）如果圆的两条切线互相平行，那么经过两个切点的直线必过圆心。其中正确的个数是（）•A.1个B.2个C.3个D.4个C•1、切线的判定方法；•2、切线的作法；•3、常见辅助线；•4、切线的性质。课堂小结