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学习虽然辛苦但其乐无穷……我用心所以我快乐“数”与“形”是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的。二次函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的思想与方法.二次函数的图象、性质蕴含信息丰富,能培养收集、整理和加工信息的能力,因此成为近年来中考的热点.信息从图象中来____二次函数中的数形结合一.二次函数的图象特征与系数符号的关系1.a的作用(1)决定开口方向:a0开口向上;a0开口向下;(2)决定开口的大小:∣a∣越大,抛物线的开口越小.2.b的作用:b的作用与抛物线的顶点及a有关(1)若b与a同号,则顶点在y轴的左边;(2)若b与a异号,则顶点在y轴的右边;(3)若b=0,则顶点在y轴上,左同右异3.c的作用c是抛物线与y轴交点的纵坐标.(1)抛物线与y轴交于正半轴c0;(2)抛物线与y轴交于负半轴c0;(3)抛物线过原点c=04.a+b+c的作用当x=1时,y=a+b+c(1)抛物线与x轴交于(1,0)则a+b+c=0;(2)若x=1时y0,则a+b+c0(3)若x=1时y0,则a+b+c05.a-b+c的作用当x=-1时,y=a-b+c(1)若抛物线与x轴交于(-1,0)则a-b+c=0.(2)若x=-1时y0,则a-b+c0;(3)若x=-1时y0,则a-b+c0.6.b2-4ac的作用确定图象与x轴是否相交.(1)抛物线与x轴有两个交点△>0(2)抛物线与x轴有一个交点△=0(3)抛物线与x轴没有交点△<0二.二次函数图象与性质的应用1.由抛物线的位置确定a,b,c的符号;由a,b,c符号确定抛物线的位置.例1二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列关系判断正确的是()A.ab0B.bc0C.a+b+c0D.a-b+c0D练习1.已知:a<0,b>0,c>0那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A02bxa2.判断同一直角坐标系的函数图象例2抛物线y=ax2+bx+c图象如图所示,则一次函数y=-bx-4ac+b2与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为()(2010甘肃兰州)D练习2.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为()A3.二次函数增减性例3二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,若点A(1,y1)、B(2,y2)是它图象上的两点,则y1与y2的大小关系是()A.y1<y2B.y1=y2.C.y1>y2D.不能确定(09深圳)C练习3下列四个函数图象中,当x>0时,y随x的增大而增大的是()(2010浙江衢州)C4.抛物线的平移例4把抛物线y=–x2向左平移1个单位,然后向上平移3个单位,则平移后抛物线的表达式()(2010宁夏回族自治区)A.y=–(x–1)2+3B.y=–(x+1)2+3C.y=–(x–1)2–3D.y=–(x+1)2–3平移:形状和开口方向不变,即a不变.规律:“左加右减”;“上加下减”.B练习4把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为y=x2-4x+5,则b、c的取值为()(2010年贵州毕节改编题)A.b=2,c=4B.b=1,c=2C.b=–10,c=28D.b=–10,c=24A5.由图象信息求抛物线的解析式例5如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.求该抛物线的表达式;解法一∵抛物线y=x2+bx+c过点A(-1,0)和点B(3,0)∴∴所求抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3解法二依题意得抛物线的对称轴为:直线x=1∴设所求抛物线的解析式为y=(x-1)2+k∵该抛物线过点B(3,0)∴4+k=0∴k=-4∴y=(x-1)2-4即y=x2﹣2x﹣3解法三抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2﹣2x﹣31bc093bc0b2c3解得练习5(四川成都)如图所示的抛物线是二次函数的图象,那么抛物线的解析式为.2231yaxxa2yx3x小结:1.二次函数的图象特征与系数符号的关系2.二次函数图象与性质的应用3.巧妙地进行“数”与“形”的相互转化4.重视图形信息的收集、整理和加工5.培养思维能力,形成良好的数学思维习惯回头一看,我想说…提高题1.(山西)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示.有下列结论:①b2-4ac<0②ab>o③a-b+c=0④4a+b=0⑤当y=2时,x只能等于0.其中正确的是()A.①④B.③④C.②⑤D.③⑤B2.二次函数的图象如图所示,下列几个结论①对称轴为直线x=2;②当y≤0时,x<0或x>4;③函数解析式为y=-x(x-4);④当x≤0时,y随x的增大而增大.其中正确的结论有________(2010广西百色)①③④3.(贵州省贵阳)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.解:(1)x1=1x2=3(2)1<x<3(3)x>2(4)k<2知识的升华独立作业祝你成功!A类《分层》P38---P39的选择题及填空题;补充提高题B类《分层》P38---P39的选择题及填空题谢谢指导!数学缔造完美课后练习:1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论正确的是()(2010福建福州)A.a>0B.c<0C.b2-4ac<0D.a+b+c>0D2.(江西省中考题)已知二次函数的部分图象如图所示则关于的一元二次方程的解为.22yxxm220xxm,;12x1,x33.(2010河北)如图,已知抛物线的对称轴x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为()A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(4,3)D4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限cMb,aD二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质1.顶点坐标与对称轴2.位置与开口方向3.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-h)2+k(a0)(h,k)(h,k)直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质1.顶点坐标与对称轴2.位置与开口方向3.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表:abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当
本文标题:二次函数中的数形结合。
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