河南专升本高等数学考试知识点归类及串讲

考试知识点归类及串讲（一）单项选择题一、函数部分1.定义域（尤其是分段函数；已知一个函数的定义域，求另一个的定义域；函数的相同；反函数）如：设函数22ln(1),12()9,23xxfxxx，则()fx的定义域为（）A13xB13xC123xx或2D13xx或函数29arcsin(25)yxx定义域已知(21)fx的定义域为[0,1],则()fx的定义域为（）A[1/2,1]B[-1,1]C[0,1]D[-1,2]设)1(2xf的定义域为5,1，则)(xf的定义域为________下列函数相等的是A1,xxyyB2(4),22yxyxxC,cos(arccos)yxyxD2,||yxyx函数2)34(xy（0x）的反函数是________2.函数的性质函数图像的对称轴（复合函数的奇偶性）函数的有界性如：1()ln1xfxx（(1,1)内奇函数？）已知()fx不是常数函数，定义域为[,]aa，则()()()gxfxfx一定是____。A偶函数B奇函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数下列函数中为奇函数的是_________。A2()sin2xxeefxxB()tancosfxxxxC2()ln(1)fxxxD()1xfxx3.函数的表达式、函数值（填空）如：设()fx为(,)上的奇函数，且满足(1),(2)()(2)fafxfxf，则(2)f_________二、重要极限部分101lim(1)1,lim(1)10sin3lim3xxx；22lim(1)xxex，11111lim(1)lim(1)(1)1xxxxxexxx三、无穷小量部分1.无穷小量的性质：无穷小量乘有界仍为无穷小2.无穷小量（大量）的选择3.无穷小量的比较（高阶、低阶、等价、同阶）如n时与31sinn等价无穷小量是（）如设sin2340(),(),xfxtdtgxxx则当0x时，()fx是比()gx的（）0x时，无穷小量232xx是的（）0x时，11xx是的（）4.无穷小量的等价替代四、间断点部分1.第Ⅰ类间断点（跳跃间断点、可去间断点）2.第Ⅱ类间断点（无穷间断点）如点0x是函数1xxye的（）函数11,0()ln(1),10xexfxxx则0x是（）若1cossin,0()1,0xxxxfxxex则0x是()fx的（）五、极限的局部性部分1.极限存在充要条件2.若0lim()0(0)xxfxA,则存在的一个邻域0(,)Ux，使得该邻域内的任意点，有()0(0)fx如()fx在点0xx处有定义，是当0xx时，()fx有极限的（）条件若(1)0f，21()lim2(1)xfxx，则()fx在1x处（）（填取得极小值）六、函数的连续性部分1.连续的定义如设1(1),0(),0xxxfxkx在点0x处连续，则（）设函数0,0,sin1)(xaxxxxf在,内处处连续，则=________.2.闭区间连续函数性质：零点定理（方程()0fx根存在及个数）如方程014xx，至少有一个根的区间是()(A))21,0((B))1,21((C))3,2((D))2,1(最大值及最小值定理如设()fx在[,ab]上连续，且()()fafb，但()fx不恒为常数，则在(,)ab内（）A必有最大值或最小值B既有最大值又有最小值C既有极大值又有极小值D至少存在一点使得()0f七、导数定义00000()()()()lim(),lim()xxfxfxfxfxfxfxxx如()fx在点1x可导，且取得极小值，则0(12)(1)limxfxfx设(1)0f，且极限1()lim1xfxx存在，则1()lim22xfxx设函数21()(3sin),xfxttdt则0()()limhfxhfxh设3)(af，则hhafafh)()(lim0________.已知6)3(f,则hfhfh2)3()3(lim0________.求高阶导数（几个重要公式）()11(1)!()()nnnnxcxc；()(sin)sin()2nxxn如设xxy11，则ny(A)nxn11!2(B)111!nxnC)111!21nnxn(D)111!2nxn八、极值部分极值点的必要条件（充分条件），拐点的必要条件（充分条件）如函数()yfx在点0xx处取得极大值，则必有（）0()0fx或不存在设函数()yfx满足()()1xfxxfxe，若0()0fx，则有（）设)(xfy是方程042yyy的一个解，若,0)(0xf且,0)(0xf则函数在有极（）值设函数()fx满足()3xfxe，若0()0,fx则有（）0()fx是()fx的极大值九、单调、凹凸区间部分()0fx，函数在相应区间内单调增加；()0fx，则区间是上凹的如曲线31xyxex的上凹区间为（）(2,)曲线42246yxxx的下凹区间为（）十、渐近线水平渐近线lim()xfxA,yA为水平渐近线；0lim()xxfx，0xx为垂直渐近线如函数ln2xyx的垂直渐近线的方程为____曲线13xeyx的水平渐近线为_______.曲线xeyx既有水平又有垂直渐近线？曲线21xxy的铅锤渐近线是_________.十一、单调性应用设()()faga，且当xa时，()()fxgx，则当xa必有（）已知函数xf在区间1,1内具有二阶导数，xf严格单调减少，且111ff，则有(A)在1,1和1,1内均有xxf(B)在1,1和1,1内均有xxf(C)在1,1内xxf，在1,1内xxf(D)在1,1内xxf，在1,1内xxf十二、中值定理条件、结论、导数方程的根如函数3()2fxxx在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理中的为（）设()(1)(2)(3)(4)fxxxxx，则()0fx实根个数为（）设函数()fx在[,]ab上连续，且在(,)ab内()0fx，则在(,)ab内等式()()()fbfafba成立的_________A存在B不存在C惟一D不能断定存在十三、切线、法线方程如曲线sin2cosytxt在4t处的法线方程为（）设函数()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且()()fafb，则曲线()yfx在(,)ab内平行于轴的切线（）（至少存在一条）十四、不定积分部分1.不定积分概念（原函数）如(),()FxGx都是区间内的函数()fx的原函数，则()()FxGxC2.被积函数抽象的换元、分部积分如设ln()cos,ftt则()ln()ln()coscoscossin()fttdtfttftdttttdttttcft若()xfxe，则ln(ln)(ln)xfxdxfxcecxcx设()fx连续且不等于零，若()arctanfxdxxc，则32(1)()3dxxxdxxcfx若()1,xfex则()fx令,ln()1lnxtextftt，即()1lnfxx，故()lnfxxxc十五、定积分部分0.定积分的平均值：()bafxdxba（填空）1.变上限积分如设0()sin()xfxtxdt求()fx（知道即可）令0,()sin()sinxutxfxudufxx2.定积分等式变形等若()fx为连续函数，则1200()(sin)cosfxdxfxxdx设()fx在[2,2]上连续，则11[(2)(2)]fxfxdx令1221202,[(2)(2)][()()]1/2[[()()]]txfxfxdxftftdtftftdt设函数()fx在区间[,]ab上连续，则()()()bbaafxdxftdt10|(21)|xxdx十六广义积分部分1.无穷限广义积分如广义积分222211111[]ln|||231232dxxdxxxxxx2.暇积分（无界函数的积分，知道即可）101110111dxdxdxxxx而11001ln|dxxx不存在，不收敛十七、空间解析几何部分1.方程所表示的曲面注意：缺少变量的方程为柱面；旋转曲面的两个变量系数相等；抛物面、锥面可用截痕法判别如方程：220xyz在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）旋转抛物面在空间直角坐标系下，方程224(1)0xy表示（）2(1)xy两条直线，所以两个平面方程2220xyz在空间直角坐标系内表示的二次曲面是（）圆锥面2.直线与直线、直线与平面等位置关系直线250260xyzxyz与直线102335444xyz的位置关系（）不平行也不垂直3.数量积、向量积概念已知4||1,||5,3,||||||sin545abababab4.投影曲线方程空间曲线C：22222()zxyzxy在xoy平面上的投影曲线方程_______________十八、全微分概念1.偏导数概念设(,)fxy在点（a,b）处有偏导数存在，则有00(,)(,)(,)(,)(,)(,)limlimhhfahbfahbfahbfabfabfahbhh0(,)(,)(,)lim2(,)xxhfahbfabfabfabh设函数222ln(),zxxy则2222zyxyxy2.全微分设3ln(),xyzexy则(1,2)|dz22(1,2)33()()|(21)(1)xyxydzyedxxedydzedxedyxyxy十九、二元极值部分0.极限连续1.驻点2.极值点要使函数222242),(yxyxyxf在点0,0处连续，应补充定义)0,0(f____。AB4C41D41二元函数22(,)4(),fxyxyxy则(2,2)是（）极大值点二十、二重积分部分1.交换积分次序设420(,),xxIdxfxydy交换积分次序后，2404(,),yyIdyfxydx注意，先画出草图2.化为极坐标形式积分区域把积分2200(,)aaydyfxydx化为极坐标形式为（）200(cos,sin)adfrrrdr也是应先画出草图设(,)fxy在上连续，则[(,)]Dfxydx________ADfdxB(,)DfxydC0D(,)fxy二十一、曲线积分部分（一个选择题）1.对弧长曲线积分2.对坐标的曲线积分设为抛物线212xyy上从点(1,0)A到点(1,2)B的一段弧，则220()(2)(2)5yyyLexdxxeydyeydye注意1.与路径无关的条件即(,)(,)LPxydxQxydy中有yxPQ；格林公式2.下限对应于起点参数是圆弧：cos,sin,0,0,2xatyatat则2320cossin1/2Lxydsatatadta注意：下限一定小于上限参数二十二、级数部分1.收敛性问题（绝对还