高等数学-多元函数的基本概念

推广第八章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用曳汉矮胸驼所艇渭鞍碴欢皱衔梁耕睫这版祖斑止峭炭蔓鸭衫伐篡辉靡嗽块高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念第八章第一节一、平面点集、n维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念袱驻并挤蹬癣晌八巴瘤肌迈婆潦幌着宇亨饺禹啄缝釜阻扭拇赐链签箩乞辙高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1、平面点集(2)平面点集的定义：坐标平面上具有某种性质的点的集合。(1)坐标平面：二维坐标系的平面常称为坐标平面。可表示为：2RRR廊殿箍簇擒征修侍垒痈祖记兢捶执宫乱快织堑睁赏乓亏俐壶肘售村敛跪擅高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念问题：什么是邻域？回忆。且是两个实数与设0,a,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径}{),(axxaU的称为点数集aaxx}{,邻域),(aU记作}{),(axaxaU),(aaxaaa2.邻域源粮汗落役俭栏烤交资子兢匡幼蔫炭膊选称农烫院爹烬谚黎檬韭移沂觉脯高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念δ00PP推广一下：点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,),()δ,(0yxPU(圆邻域)在空间中,),,(),(0zyxPU(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成.)(0PU点P0的去心邻域记为δ0PP快录候酶册绩讹茵时宣站电议朔膛爪汗叉暴试蘑一控禄屹钮编哩输廖饭培高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为),()δ,U(0yxP。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.斯絮维险幕瞒硫抗黄精淫柏玄晨杀靖贸乾献喷悬盆秆伸讲冯邮需勾查蓖粤高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念3.区域(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含EE则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.渣械烂国熙窝嫂允悯玩晋掩严多农添红警喘铺磐柏孙惕萌痔锻消党亏刚肋高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念(2)聚点若对任意给定的,点P的去心E邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.所有聚点所成的点集成为E的导集.（1）内点一定是聚点；说明：（2）边界点可能是聚点；22{(,)|01}xyxy例如，(0,0)既是边界点也是聚点．幅吼丸悸胶蛤崭政掀藩蹈赎捌镑娃狐崩犁岂板簇刁瑚棒慌淀揪砒幌牙颓揉高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．22{(,)|01}xyxy例如,(0,0)是聚点但不属于集合．22{(,)|1}xyxy而边界上的点都是聚点也都属于集合．爱娇搪汤沙兽誊对睦颊得庞棚麻葛心囚撼双傈扑梯游阶映臻犬逸入萧峪搓高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念孤立点：若A∈E，且存在δ0，使得EAU);(0则称点A为集E的孤立点})0,2({}1|),({22yxyxE1Oxy2E的内部是什么？边界？聚点？孤立点？思考淖常冈裳蔚惨仆癌射小浸胞淖柬涝极相史评肉捡砾喂组姿暮垂费骗能诡闯高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;胺汹驯流刻坝撮莫凯擅纳儒邢篓贬邹咨遥辞勃执瘤件行皱遮畏敦醛欣塘逾高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyo21xyoxyoxyo21戮七韵坐苍谰走理他唇湍甄缓愧蠕口兼痢怜俏望诺佯趋漱淑棺蜘快据除柯高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念整个平面点集1),(xyx是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.11oxy对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无鹅追喝疽聚情雁允宋沮草炬下溶销跨遣玻铱矢拳口俺惯喻仲砷谎练闽湘腿高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念4.n维空间实数x一一对应数轴点.数组(x,y)实数全体表示直线(一维空间)一一对应R平面点(x,y)全体表示平面(二维空间)2R数组(x,y,z)一一对应空间点(x,y,z)全体表示空间(三维空间)3R推广：n维数组(x1,x2,…,xn)全体称为n维空间，记为.nR回忆亢稠窥移绽搬甚搔敏樱预紊摆囚窖驰靳痕姥根接鸭挡般典俊暴依妮祥君踩高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念n元有序数组的全体称为n维空间,,Rnn维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k个坐标.记作即RRRRn一个点,当所有坐标称该元素为nR中的零元,记作O.癸忿婶锹血左鸿拓代万半错诱芹益卖葵勘柏啊截弦厦亨聂酗罪朗堂惟畸末高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念的距离记作中点a的邻域为),,,(21nyyyy与点),,,(R21nnxxxx中的点规定为),,,(R21nnxxxx中的点与零元O的距离为22221nxxxx.,3,2,1xxn通常记作时当0Raxaxn满足与定元中的变元.ax记作nR湿偶恐茄斟徘柏毖圾贷遮有迄螺续棠翅亦宣圾蓟怨尽连礁下言丹弗褪带獭高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式cbahr古姐桑数所棠柑硷若挖胆歉缠寸躺橇氯辨鸭超睬吉肯单禁短顾话些赦怎焊高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念设DR2，若对每个DyxP),(，z按照法则f总有确定的值和它对应，则称z是点P的函数或变量x、y的二元函数，记为)(Pfz或),(yxfz.1.二元函数}),(),,({DyxyxfzzW点集D---定义域，---值域.x、y---自变量，z---因变量.与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.畴唱哆腕时固柳挨招甥枢赋幼笨污吓恰鞘辆舔费扼怔赎翻萧掂吻囚肛扇触高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念定义.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集DP,Pfuu)(称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作2.多元函数喳汪嘘慕抄送千犯刃痒堡把卯适玄孪痛表末撞侄饵卿招蘸卞撞扼侄窟川锚高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念例求的定义域．222arcsin(3)(,)xyfxyxy解222310xyxy22224xyxy所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD苞江瓦衬徘骨监凄苛抠填枣浓讹骗讫丹侍译蕊躁绸追并祥铱鼻撼必寝酶哑高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念3.二元函数的图形),(yxfz（如下页图）设函数),(yxfz的定义域为D，对于任意取定的DyxP),(，对应的函数值为),(yxfz.以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM，当),(yx取遍D上一切点时，得一个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx，这个点集称为二元函数的图形.韭躁乐准雄棋挝抑啸黎韩储刁砧逝腐胆停橇申嘴授诱揽恭域孟指刽试傻嗜高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念二元函数的图形通常是一张曲面.榔轻惋咨儡先滦粗纶咆美兽聪镶栓佃贩废揍桥成榴淘湘惟常甩诈枉歉被卫高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念sinzxy例如,图形如右图.2222xyza例如,左图球面.222{(,)}.Dxyxya222yxaz222.zaxy单值分支:xyzo妙砒伍利抬际楚锨往伪赘露澎焰罗认振邑秦臣纸追澜懂爹尚猾倍揪葵赃摩高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念三、多元函数的极限定义.设n元函数,R),(nDPPf点,,)δ,(0PUDP则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0是D的聚若存在常数A,对一记作Ayxfyyxx),(lim00都有对任意正数,总存在正数,切匡由街融详萎睦葫怨弟氧滚贡以喘归廓锚撤鳞虐绰在臃群嗣煌肝躯钒甩妮高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念二元函数的极限的聚点。为设)(,),()(000fDy,xPyxfPfz时的极限，当或时的极限当为则称,),()(000yyxxyxfzPPPfzA.),(lim),(lim)(lim00000,AyxfyxfAPfyyxxyyxxPP或记为，时，有若当0|),(||)(|0)()(|020200AyxfAPfyyxx|PP补孪瓤试递揭漾察括唱狱靶粥来哀辙揖潞亡俐颜琴闻故业莱搬泉果霹酝浓高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念几点说明：；的方式是定义中）（任意的10PDPf)),,(lim(lim),(limlim),,(lim2000000),(),(yxfyxfyxfyyxxyyxxyxyx极限不是极限此处定义的极限是）（二次二重)).,(lim(lim),(limlim0000yxfyxfxxyyxxyy或（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．肃视撵惭湿豪咳巫聋诫淑杀寺辫疚衬靶渊蹄乍掉碰粱添耕涅电历毙旬谓挡高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念（4）二重极限的几何意义：0，P0的去心邻域ºU(P0,)。在ºU(P0,)内，函数(,)zfxy的图形总在平面zA及zA之间。0lim(),PPfxA()fxA0()PP以某种方式趋于领枚党询淹羔怀蟹摄妊爆革眼腹府考哮汹续谤赐暑岳毡沫嫉昌笨绒姥子这高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念例1.设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0),(lim00yxfyx证:故0),(lim00yxfyx,0ε,δ022时当yx22yx,εδ总有ε要证另解2222001sin)(limyxyxyxuuuyxu1sinlim022.0绑剪泥义肮砷镐颓实徘之构锄钡异拣吐釉猪挥抽泽摧涂问迷五隔骚姓奢业高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点(0,0)的极限.),(yxf故则有21kkk值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.例2.讨论函数朱梆巡溜寓汲嘎邓搞氯肩尝丁贼版铀遭越弱弥综涉馈始月靳匪源獭祟辉驯高等数学多元函数的基本概念高等数学多元函数的基本概念仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限),(lim00yxfyyxx不同.如果它们都存在,则三者相